Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Lời giải Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 210 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) $\sin^{2} x + \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x);$

b) $\cos (x - \frac{π}{3}) \cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x + \frac{π}{6}) \cos (x + \frac{3 π}{4}) .$

Lời giải:

a) ${sin}^{2} x + cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = {sin}^{2} x + \frac{1}{2} (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= {sin}^{2} x + \frac{1}{2} (1 - 2 {sin}^{2} x - \frac{1}{2}) = {sin}^{2} x + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 2 {sin}^{2} x) = {sin}^{2} x + \frac{1}{4} - {sin}^{2} x = \frac{1}{4} .$

Vậy giá trị của biểu thức ${sin}^{2} x + cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) $cos (x - \frac{π}{3}) cos (x + \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{6}) cos (x + \frac{3 π}{4})$

$= \frac{1}{2} [cos \frac{7 π}{12} + cos (2 x - \frac{π}{12})] + \frac{1}{2} [cos \frac{7 π}{12} + cos (2 x + \frac{11 π}{12})]$

$= \frac{1}{2} [cos (2 x - \frac{π}{12}) + cos (2 x - \frac{π}{12} + π)] + cos \frac{7 π}{12}$

$= \frac{1}{2} [cos (2 x - \frac{π}{12}) - cos (2 x - \frac{π}{12})] + cos \frac{7 π}{12} = cos \frac{7 π}{12} .$

Vậy giá trị của biểu thức $cos (x - \frac{π}{3}) cos (x + \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{6}) cos (x + \frac{3 π}{4})$ không phụ thuộc vào giá trị của x.