Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) 4cosx.cos(pi/3-x).cos(pi/3+x)=cos3x

Lời giải Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 2,031 06/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $4 \cos x \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x) = \cos 3 x;$

b) $\frac{\sin 2 x \cos x}{(1 + \cos x) (1 + \cos 2 x)} = \tan \frac{x}{2};$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x;

d) $\frac{\sin^{2} 3 x}{\sin^{2} x} - \frac{\cos^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = 8 \cos 2 x .$

Lời giải:

a) $4 cos x cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = 2 cos x (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= 2 cos x cos 2 x + 2 cos x cos \frac{2 π}{3}$

$= cos x + cos 3 x + 2 cos x \cdot (- \frac{1}{2})$

$= cos x + cos 3 x - cos x = cos 3 x .$

b) $\frac{sin 2 x cos x}{(1 + cos x) (1 + cos 2 x)} = \frac{(2 sin x cos x) cos x}{(1 + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 1) (1 + 2 {cos}^{2} x - 1)}$

$= \frac{2 sin x {cos}^{2} x}{4 {cos}^{2} \frac{x}{2} {cos}^{2} x}$

$= \frac{sin x}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = tan \frac{x}{2} .$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinxcos2x + 2sinxcos4x + 2sinxcos6x

= sinx + [sin(‒x) + sin3x] + [sin(‒3x) + sin5x] + [sin(‒5x) + sin7x]

= sinx + (‒sinx + sin3x) + (‒sin3x + sin5x) + (‒sin5x + sin7x)

= sin7x.

$\frac{{sin}^{2} 3 x}{{sin}^{2} x} - \frac{{cos}^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = \frac{{sin}^{2} 3 x {cos}^{2} x - {cos}^{2} 3 x {sin}^{2} x}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} = \frac{{(sin 3 x cos x)}^{2} - {(cos 3 x sin x)}^{2}}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x}$