Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 6 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0;

b) $\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}+\sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=\cos \frac{A}{2}.$

Lời giải:

Kí hiệu A = $\widehat{A}$, B = $\widehat{B}$, C = $\widehat{C}$.

Vì tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 180° nên A + B + C = 180°.

Suy ra $\frac{A+B+C}{2}={90}^{\circ }$, hay $\frac{B}{2}+\frac{C}{2}={90}^{\circ }-\frac{A}{2}$.

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC

= cos(A + B) + cosC

= cos(180° ‒ C) + cosC

= ‒cosC + cosC = 0.

b)

$$\begin{gathered} \text{cos}\frac{B}{2}\text{sin}\frac{C}{2}+\text{sin}\frac{B}{2}\text{cos}\frac{C}{2}=\text{sin}\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right) \\ =\text{sin}\left(90°-\frac{A}{2}\right)=\text{cos}\frac{A}{2}. \end{gathered}$$