Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) lim x tiến tới -1 (x^3-3x)

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 1 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^3-3x\right);$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{2x+5};$

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4-x}{2x+1}.$

Lời giải:

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ –1 với mọi n và limx_n = ‒1.

Ta có: $\lim \left(x_n^3-3x_n\right)={\left({\text{limx}}_n\right)}^3-3\lim x_n={\left(-1\right)}^3-3\cdot \left(-1\right)=2.$

Vậy $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^3-3x\right)=2.$

b) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn $x_n\ge -\frac{5}{2}$, x_n ≠ 2 với mọi n và limx_n = 2.

Ta có:

$\lim \sqrt{2x_n+5}=\sqrt{\lim 2x_n+\lim 5}=\sqrt{2\lim x_n+\lim 5}$

$=\sqrt{2\cdot 2+5}=\sqrt{9}=3.$

Vậy $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{2x+5}=3.$

c) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = +∞.

Ta có: $\lim \frac{4-x_n}{2x_n+1}$ = $\frac{\lim \frac{4}{x_n}-\lim 1}{\lim 2+\lim \frac{1}{x_n}}$ = $\frac{0-1}{2+0}=-\frac{1}{2}.$

Vậy $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4-x}{2x+1}=-\frac{1}{2}.$