Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng: a) lim x--> 2 ax+b/x-2 =5

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 11 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=5;$

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3.$

Lời giải:

a) Do $\underset{x\to 2}{\lim }\left(x-2\right)=2-2=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=5,$ trước hết ta phải có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\mathrm{ax}+b\right)=0$ hay 2a + b = 0, suy ra b = ‒2a.

Khi đó, $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}-2a}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{a\left(x-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }a=a$

Suy ra a = 5 và b = ‒10.

b) Do $\underset{x\to 1}{\lim }\left(x-1\right)=1-1=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3,$ trước hết ta phải có $\underset{x\to 1}{\lim }\left(a\sqrt{x}+b\right)=0$ hay a + b = 0, suy ra b = ‒a.

Khi đó, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{a\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{a}{\sqrt{x}+1}=\frac{a}{2}.$

Suy ra $\frac{a}{2}=3$ hay a = 6, suy ra b = ‒6.