Sách bài tập Toán 7 Bài 15 (Kết nối tri thức): Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 7 trang 64 Tập 1

Bài 4.31 trang 64 SBT Toán 7 Tập 1: Trong mỗi hình sau (H.4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau?

Hướng dẫn giải

+) Hình a:

Xét ∆ABC và ∆ADC ta có:  

AB  = AD (giả thiết)

$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ADC}$ = 90° (giả thiết)

BC = CD (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ADC (hai cạnh góc vuông).

+) Hình b

Xét ∆EFG và ∆KHG ta có:

GF  = GH (giả thiết)

$\widehat{FEG}$ = $\widehat{HKG}$ = 90° (giả thiết)

$\widehat{EGF}$ = $\widehat{HGK}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆EFG = KHG (góc nhọn – cạnh huyền)

+) Hình c:

Tam giác OMN vuông tại M nên $\widehat{ONM}+\widehat{O}=90°\Rightarrow$$\widehat{ONM}=90°-\widehat{O}$.

Tam giác OQP vuông tại Q nên $\widehat{OPQ}+\widehat{O}=90°$$\Rightarrow \widehat{OPQ}=90°-\widehat{O}$.

Do đó, $\widehat{ONM}=\widehat{OPQ}$.

Xét ∆OMN và ∆OQP ta có:

MN  = PQ (giả thiết)

$\widehat{OMN}$ = $\widehat{OQP}$ = 90^o (giả thiết)

$\widehat{ONM}=\widehat{OPQ}$ (chứng minh trên)

Do đó, ∆OMN = ∆OQP (góc nhọn – cạnh góc vuông).

+) Hình d:

Xét ∆XYZ và ∆STZ ta có:

YZ  = TZ (giả thiết)

$\widehat{Y\text{}XZ}$ = $\widehat{TSZ}$ = 90° (giả thiết)

XZ = SZ (giả thiết)

Do đó, ∆XYZ = ∆STZ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Bài 4.32 trang 64 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.34. Biết rằng E là trung điểm của BC, chứng minh rằng ∆ABE = ∆DCE.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABE và ∆DCE ta có:  

∆ABE = ∆CDE (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Giải SBT Toán 7 trang 65 Tập 1

Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.35. Biết rằng AC vuông góc với BD, EA = EB và EC = ED.

Chứng minh rằng:

a) ∆AED = ∆BEC.

b) ∆ABC = ∆BAD.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆AED và ∆BEC ta có:  

AE  = BE (giả thiết)

$\widehat{AED}$ = $\widehat{BEC}$ = 90° (do AC và DB vuông góc với nhau)

ED = EC (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (hai cạnh góc vuông).

b) Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED. Mà AE = BE; EC = ED nên AC = BD.

Vì ∆AED = ∆BEC nên AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ABC và ∆BAD có:  

BC = AD (chứng minh trên)

AB chung

AC = BD (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – c – c).

Bài 4.34 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng minh rằng BN = CM và BN ⊥ CM.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{AD}{2}$.

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{AB}{2}$.

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét ∆ANB và ∆BMC có:

AN = BM (chứng minh trên)

AB = BC (chứng minh trên)

$\widehat{NAB}$ = $\widehat{MBC}$ = 90° (do ABCD là hình vuông)

Do đó, ∆ANB = ∆BMC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do ∆ANB = ∆BMC nên $\widehat{EMB}=\widehat{CMB}=\widehat{BNA}$.

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

$$\begin{gathered} \widehat{BEM}=180°-\widehat{EMB}-\widehat{MBE} \\ =180°-\widehat{BNA}-\widehat{ABN} \\ =\widehat{BAN}=90° \end{gathered}$$.

Vậy BN vuông góc với CM tại E.

Bài 4.35 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.37. Biết rằng $\widehat{DAB}=\widehat{CAB}$, hãy chứng minh CB = DB.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

AB chung

$\widehat{CAB}$ = $\widehat{DAB}$ (giả thiết)

$\widehat{ACB}$ = $\widehat{ADB}$ = 90° (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CB = DB.

Bài 4.36 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1: Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác ABC và DEF như Hình 4.38. Biết rằng ∆ABC = ∆DEF, hãy chứng minh AH = DK.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC = ∆DEF nên  

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{BAC}=\widehat{EDF};\widehat{B}=\widehat{E};\widehat{C}=\widehat{F}\\ AB=DE;AC=DF;BC=E\text{}F\end{array}\right.$ (các góc tương ứng và các cạnh tương ứng bằng nhau).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=90°$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=90°$.

Xét ∆ABH và ∆DEK có:  

$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}=90°$ (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

$\widehat{B}=\widehat{E}$ (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = DK.

Giải SBT Toán 7 trang 66 Tập 1

Bài 4.37 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1: Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng:

a) Nếu AB = DE; BC = EF và AH = DK thì ∆ABC = ∆DEF;

b) Nếu AB = DE, AC = DF và AH = DK thì ∆ABC = ∆DEF.

Hướng dẫn giải

a)

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=90°$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=90°$.

Xét ∆ABH và ∆DEK có:

$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}=90°$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, $\widehat{B}=\widehat{E}$ (hai góc tương ứng).

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

$\widehat{B}=\widehat{E}$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90°$.

Xét ∆ABH và ∆DEK có:  

$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}=90°$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, BH = EK.

Xét ∆ACH và ∆DFK có:

$\widehat{AHC}=\widehat{DKF}=90°$ (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ACH = ∆DFK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, CH = FK.

Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK. Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

BC = EF (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – c – c).

Bài 4.38 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

a) AC = BD.

b) AD // BC.

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

a) Xét ∆ABC và ∆DCB có:

$\widehat{BAC}=\widehat{CDB}=90°$ (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ∆ABC = ∆DCB nên $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:  

$\widehat{OCB}+\widehat{CBO}+\widehat{BOC}$ = 180°.

Mà $\widehat{OCB}=\widehat{CBO}$ do $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ nên $2\widehat{CBO}+\widehat{BOC}$= 180°

Suy ra $2\widehat{CBO}$ = 180° – $\widehat{BOC}$

Do đó, $\widehat{CBO}=\frac{180°-\widehat{BOC}}{2}$ (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:  

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$.

Xét tam giác OAD có:

$\widehat{OAD}+\widehat{ADO}+\widehat{AOD}$ = 180°.

Mà $\widehat{OAD}=\widehat{ADO}$ do $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ nên $2\widehat{ADO}+\widehat{AOD}$= 180°

Do đó, $\widehat{ADO}=\frac{180°-\widehat{AOD}}{2}$ (2)

Mà $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$  (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, $\widehat{CBO}=$$\widehat{ADO}$ hay $\widehat{CBD}=\widehat{ADB}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Bài 4.39 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE = CF (H.4.41). Chứng minh rằng:

a) AF = CE.

b) AF // CE.

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC; AB = CD.

Ta có: AD = AE + ED; BC = BF + FC mà FC = AE (gt) và AD = BC nên ED = BF.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=\widehat{DAB}=90°$.

Xét ∆ABF và ∆CDE có:

AB = CD (chứng minh trên)

BF = ED (chứng minh trên)

$\widehat{ABF}=\widehat{CDE}=90°$(do $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}=90°$)

Do đó, ∆ABF = ∆CDE (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AF = CE.

b) Vì ∆ABF = ∆CDE nên $\widehat{A\text{}FB}=\widehat{CED}$ (hai góc tương ứng).

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC nên $\widehat{CED}=\widehat{EC\text{}F}$(hai góc so le trong).

Ta có: $\widehat{A\text{}FB}=\widehat{CED}$; $\widehat{CED}=\widehat{EC\text{}F}$ nên $\widehat{A\text{}FB}=\widehat{EC\text{}F}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên AF // CE (điều phải chứng minh).

Bài 4.40 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1: Cho năm điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA = DC, DB = DE.

a) Chứng minh rằng AB = CE.

b) Cho đường thẳng CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng $\widehat{BFC}=90°$.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆ABD và ∆CED có:  

$\widehat{ADB}=\widehat{CDE}=90°$ (giả thiết)

DA = DC (giả thiết)

DB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆CED (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AB = CE (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ∆ABD = ∆CED nên $\widehat{BAD}=\widehat{ECD}$(hai góc tương ứng).

Lại có: $\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=90°$ (do tam giác ABD vuông ở D) nên $\widehat{ECD}+\widehat{ABC}=90°$.

Xét tam giác BFC có:

$\widehat{BFC}+\widehat{CBF}+\widehat{BCF}=180°$

Mà $\widehat{CBF}$ chính là góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{BCF}$ chính là góc $\widehat{ECD}$.

Do đó, $\widehat{CBF}$ + $\widehat{BCF}$ = 90°.

Nên $\widehat{BFC}$ + 90° = 180°

Suy ra $\widehat{BFC}$ = 180° – 90° = 90° (điều phải chứng minh).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 12: Tổng các góc trong một tam giác

Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Ôn tập chương 4