Giải Toán 11 trang 72 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 11 trang 72 Tập 2

Bài 5 trang 72 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = sin3x + sin²x

b) y = log₂(2x + 1) + 3^{−2x + 1}

Lời giải:

a)y'=(sin3x)' + (sin²x)

= (3x)'.cos3x + 2(sinx)'.sinx

= 3.cos3x + 2cosx.sinx

= 3cos3x + sin2x.

b) y' = (log₂(2x + 1))' + (3^{−2x + 1})'

$=\frac{{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}}{\left(2x+1\right)\ln 2}+{\left(\frac{1}{3^{2x-1}}\right)}^{\text{'}}=\frac{2}{\left(2x+1\right)\ln 2}-\frac{{\left(3^{2x-1}\right)}^{\text{'}}}{{\left(3^{2x-1}\right)}^2}$

$=\frac{2}{\left(2x+1\right)\ln 2}-\frac{{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}\cdot 3^{2x-1}\cdot \ln 3}{{\left(3^{2x-1}\right)}^2}$

$=\frac{2}{\left(2x+1\right)\ln 2}-\frac{2\cdot \ln 3}{3^{2x-1}}=\frac{2}{\left(2x+1\right)\ln 2}-2\ln 3\cdot 3^{-2x+1}.$

Bài 6 trang 72 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 4 tại điểm có hoành độ x₀ = 2;

b) y = lnx tại điểm có hoành độ x₀ = e;

c) y = e^x tại điểm có hoành độ x₀ = 0.

Lời giải:

a) Từ y = x³ – 3x² + 4, ta có: y' = (x³)' – (3x²)' + (4)' = 3x² – 6x.

Do đó y'(2) = 3.2² – 6.2 = 12 – 12 = 0.

y(2) = 2³ – 3.2² + 4 = 8 – 12 + 4 = 0.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x₀ = 2 là:

y = 0(x – 2) + 0 = 0.

b) Từ y = lnx, ta có: $y^{\text{'}}={\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$

Do đó và $y^{\text{'}}\left(e\right)=\frac{1}{e}$ = lne = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x₀ = e là

$y=\frac{1}{e}\cdot \left(x–e\right)+1$ hay $y=\frac{1}{e}x.$

c) Từ y = e^x, ta có: y' = (e^x)' = e^x.

Do đó y'(0) = e⁰ = 1 và y(0) = e⁰ = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x₀ = 0 là:

y = 1(x – 0) +1 hay y = x + 1.

Bài 7 trang 72 Toán 11 Tập 2:Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v₀ = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/s²)?

Lời giải:

Chọn gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên.

Phương trình chuyển động của viên đạn là:

$y\left(t\right)=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\left(g=9,8m/s^2\right).$

Vận tốc tại thời điểm t là: v = y'(t) = v₀ – gt (m/s).

Do đó để v = 0 thì v₀ – gt = 0

Suy ra $t=\frac{v_0}{g}=\frac{196}{9,8}=20\left(s\right).$

Khi đó, viên đạn cách mặt đất một khoảng là:

$y\left(20\right)=196\cdot 20-\frac{1}{2}\cdot 9,8\cdot {20}^2=1960\left(m\right).$

Bài 8 trang 72 Toán 11 Tập 2: Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q₀. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q₀sinωt, trong đó ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t). Cho biết Q₀ = 10^–8 (C) và ω = 10⁶π (rad/s). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) (tính chính xác đến 10^–5 mA)

Lời giải:

I(t) = q'(t) = (Q₀sinωt)' = Q₀ω.cosωt

Cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) là:

I(6) = 10^–8 ∙10⁶π.cos(10⁶π.6) = 10^–2π.cos0 = 0,01π (A).

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 64 Tập 2

Giải Toán 11 trang 65 Tập 2

Giải Toán 11 trang 66 Tập 2

Giải Toán 11 trang 67 Tập 2

Giải Toán 11 trang 68 Tập 2

Giải Toán 11 trang 69 Tập 2

Giải Toán 11 trang 71 Tập 2

Giải Toán 11 trang 72 Tập 2