Giải Toán 11 trang 65 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 11 trang 65 Tập 2

Hoạt động 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có $\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)=\sqrt{1+\Delta x}-\sqrt{1}=\sqrt{1+\Delta x}-1$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\Delta x}-1}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{1+\Delta x}-1\right)\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1+\Delta x-1}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\Delta x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}.$

Luyện tập 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ tại điểm x₀ = 9

Lời giải:

Ta có :$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$với x > 0.

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 9 là $f^{\text{'}}\left(9\right)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}.$

Hoạt động 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)–f\left(x\right)=sin\left(x+\Delta x\right)–sinx=2cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\frac{\Delta x}{2}\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=cos\left(x+\frac{0}{2}\right)\cdot 1=\cos x.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì là y’ = cosx.

Luyện tập 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}$

Lời giải:

Ta có f’(x) = cosx.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}$ là: $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0$

Hoạt động 4 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)–f\left(x\right)=cos\left(x+\Delta x\right)–cosx=-2\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-2\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)$

$=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\frac{\Delta x}{2}\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=-\sin \left(x+\frac{0}{2}\right)\cdot 1=-\sin x.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì là y’ = –sinx.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 64 Tập 2

Giải Toán 11 trang 65 Tập 2

Giải Toán 11 trang 66 Tập 2

Giải Toán 11 trang 67 Tập 2

Giải Toán 11 trang 68 Tập 2

Giải Toán 11 trang 69 Tập 2

Giải Toán 11 trang 71 Tập 2

Giải Toán 11 trang 72 Tập 2