Giải Toán 11 trang 66 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 11 trang 66 Tập 2

Luyện tập 4 trang 66 Toán 11 Tập 2: Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2

Lời giải:

Ta có:f’(x)= –sinx

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2 là: f’(2) = –sin2

Hoạt động 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = tan(x + ∆x) – tanx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{tan\left(x+\Delta x\right)–tanx}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin \left(x+\Delta x\right)}{\cos \left(x+\Delta x\right)}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+\Delta x\right)\cos x-\cos \left(x+\Delta x\right)\sin x}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+\Delta x-x\right)}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=1\cdot \frac{1}{\cos \left(x+0\right)\cos x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ) là $y\text{'}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Luyện tập 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ $\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right).$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$ là:

$f^{\text{'}}\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(-\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{4}{3}$

Hoạt động 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = cot(x + ∆x) – cotx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{cot\left(x+\Delta x\right)–cotx}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\cos \left(x+\Delta x\right)}{\sin \left(x+\Delta x\right)}-\frac{\cos x}{\sin x}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x+\Delta x\right)\sin x-\sin \left(x+\Delta x\right)\cos x}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x-x-\Delta x\right)}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(-\Delta x\right)}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

$=\left(-1\right)\cdot \frac{1}{\sin \left(x+0\right)\sin x}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ) là $y\text{'}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Luyện tập 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}$

Lời giải:

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ (x ≠ kπ, k ∈ ℤ)

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}$ là:

$f^{\text{'}}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{{\sin }^2\left(-\frac{\pi }{3}\right)}=-\frac{1}{{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{-4}{3}.$

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 64 Tập 2

Giải Toán 11 trang 65 Tập 2

Giải Toán 11 trang 66 Tập 2

Giải Toán 11 trang 67 Tập 2

Giải Toán 11 trang 68 Tập 2

Giải Toán 11 trang 69 Tập 2

Giải Toán 11 trang 71 Tập 2

Giải Toán 11 trang 72 Tập 2