Giải Toán 11 trang 67 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 11 trang 67 Tập 2

Hoạt động 7 trang 67 Toán 11 Tập 2:Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = e^{x + ∆x} – e^x.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{x+\Delta x}–e^x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^x\left(e^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}=e^x\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=e^x\cdot 1=e^x.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = e^x tại điểm x bất kì là y' = e^x.

Luyện tập 7 trang 67 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 10^x tại điểm x₀ = –1

Lời giải:

Ta có f’(x) = 10^xln10

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ =–1 là $f’\left(–1\right)={10}^{-1}\ln 10=\frac{\ln 10}{10}$

Hoạt động 8 trang 67 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(x+\Delta x\right)-\ln x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}\right]=\frac{1}{x}\underset{\frac{\Delta x}{x}\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}=\frac{1}{x}$

Vậy đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì là $y^{\text{'}}=\frac{1}{x}.$

Luyện tập 8 trang 67 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = logx tại điểm $x_0=\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x\ln 10}$(x > 0).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=\frac{1}{2}$là $f^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \ln 10}=\frac{2}{\ln 10}.$

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 64 Tập 2

Giải Toán 11 trang 65 Tập 2

Giải Toán 11 trang 66 Tập 2

Giải Toán 11 trang 67 Tập 2

Giải Toán 11 trang 68 Tập 2

Giải Toán 11 trang 69 Tập 2

Giải Toán 11 trang 71 Tập 2

Giải Toán 11 trang 72 Tập 2