Bài 5 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 5 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α  ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α  + sin²α  = 1;

b) tanα  . cotα  = 1 (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°).

c) 1 + tan²α  = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (α  ≠ 90°);

d) 1 + cot² α  = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (0° < α  < 180°).

Lời giải:

Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$($0^0\le \alpha \le {180}^0$). Khi đó, ta có:

$\sin \alpha =y_0;\cos \alpha =x_0,\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}$

a) ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha ={x_0}^2+{y_0}^2=O{M}^2=1$. Vậy ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$.

b) Với $0^0<\alpha <{180}^0$; α ≠ ${90}^0$:

tanα. cotα = $\frac{y_0}{x_0}.\frac{x_0}{y_0}=1$

Vậy tanα. cotα =1 ($0^0<\alpha <{180}^0$; α ≠ ${90}^0$).

c) $1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$(\alpha \ne {90}^0)$.

Vậy $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }(\alpha \ne {90}^0)$.       

d)  $1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }(0^0<\alpha <{180}^0)$.

Vậy $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }(0^0<\alpha <{180}^0)$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Hoạt động khởi động trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Làm thế nào để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho các góc...

Hoạt động khám phá 1 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị...

Thực hành 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc 135⁰ ...

Hoạt động khám phá 2 trang 62 Toán lớp 10 Tập 1: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox...

Thực hành 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác: sin120⁰ ; cos150⁰ ; cot135⁰... 

Vận dụng 1 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Cho biết $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ , tìm góc $\alpha$ bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị...

Thực hành 3 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Tính A = $\sin {150}^0+\tan {135}^0+cot{45}^0$; B = 2cos30⁰ – 3tan150⁰ + cot135^0..

Vận dụng 2 trang 64 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm góc $\alpha$ ($0^0\le \alpha \le {180}^0$) trong mỗi trường hợp sau...

Thực hành 4 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1:  Tính cos80°43'51"; tan147°12'25''; cot99°9'19"...

Bài 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Cho biết $\sin {30}^0=\frac{1}{2}$ ; $\sin {60}^0=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\tan {45}^0=1$. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác...

Bài 2 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng: $\sin {20}^0= \sin {160}^0$; $\cos {50}^0=-\cos {130}^0$...

Bài 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm Alpha ($0^0\le \alpha \le$ ${180}^0$) trong mỗi trường hợp sau...

Bài 4 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sinA = sin(B + C); cosA = – cos(B + C)...

Bài 5 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc $\alpha$ ($0^o$ $\le$ $\alpha$ $\le$ ${180}^0$), ta đều có...

Bài 6 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Cho góc Alpha với cos $\alpha$ = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²$\alpha$ + 5 cos²$\alpha$...

Bài 7 trang 65 Toán lớp 10 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°