Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AD là tia phân giác của góc HAC

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 1. Tổng các góc của một tam giác

Bài 7 trang 68 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AD là tia phân giác của $\widehat{HAC}$ (Hình 4)

 

a) Tìm các cặp góc có tổng số đo bằng 90°.

b) Cho $\widehat{C}=40°$. Tính số đo của $\widehat{B},\widehat{BDA},\widehat{DAC}.$

c) Chứng minh: $\widehat{BAH}=\widehat{C},\widehat{CAH}=\widehat{B},\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.$

Lời giải

a) Xét $∆$ABC vuông tại A ta có:

$\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Xét $∆$ABH vuông tại H ta có:

$\widehat{B}+\widehat{BAH}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Xét $∆$ACH vuông tại H ta có:

$\widehat{C}+\widehat{CAH}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Xét $∆$ADH vuông tại H ta có:

$\widehat{A\text{D}H}+\widehat{DAH}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Ta có: $\widehat{BAC}=90°=\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}$

Vậy các cặp góc có tổng số đo bằng 90° là:

$\widehat{BAH}$ và $\widehat{CAH}$; $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$; $\widehat{B}$ và $\widehat{BAH}$; $\widehat{C}$ và $\widehat{CAH}$; $\widehat{BAD}$ và $\widehat{DAC}$; $\widehat{HAD}$ và $\widehat{ADH}$.

b) • Do $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ (chứng minh câu a) nên $\widehat{B}=90°-\widehat{C}$.

Mà $\widehat{C}=40°$ nên $\widehat{B}=90°-40°=50°$.

• Do $\widehat{C}+\widehat{CAH}=90°$(chứng minh câu a)

Nên $\widehat{CAH}=90°-\widehat{C}=90°-40°=50°$.

Mà AD là tia phân giác của $\widehat{CAH}$ (giả thiết)

Do đó $\widehat{DAC}=\widehat{DAH}=\frac{\widehat{CAH}}{2}=\frac{50°}{2}=25°$.

• Do $\widehat{A\text{D}H}+\widehat{DAH}=90°$ (chứng minh câu a)

Nên $\widehat{ADH}=90°-\widehat{DAH}=90°-25°=65°$ hay $\widehat{BDA}=65°.$

Vậy $\widehat{B}=50°,\widehat{BDA}=65°,\widehat{DAC}=25°.$

c) Vì $\widehat{B}+\widehat{BAH}=90°$ (chứng minh câu a)

Nên $\widehat{BAH}=90°-\widehat{B}=90°-50°=40°$.

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{CAH}\left(=50°\right)$, $\widehat{C}=\widehat{BAH}\left(=40°\right)$.

Lại có $\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=90°;\widehat{A\text{D}H}+\widehat{DAH}=90°$ (chứng minh câu a)

Mà $\widehat{DAC}=\widehat{DAH}$ suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{ADH}$ hày $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.$

Vậy $\widehat{BAH}=\widehat{C},\widehat{CAH}=\widehat{B},\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.$