Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4 cm, AC = 8 cm. Gọi E là trung điểm của AC

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài 3 trang 71 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4 cm, AC = 8 cm. Gọi E là trung điểm của AC, M là trung điểm của BC.

a) Tính EM.

b) Vẽ tia Bx song song với AC sao cho Bx cắt EM tại D. Chứng minh tứ giác ABDE là hình vuông.

c) Gọi I là giao điểm của BE và AD, K là giao điểm của BE và AM. Chứng minh tứ giác BDCE là hình bình hành và DC= 6KI.

Lời giải:

a) ∆ABC có E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có $ME=\frac{1}{2}AB$ và ME // AB

Do đó $ME=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.4=2$ (cm).

b) Tứ giác ABDE có: AB // DE (do AB // ME) và BD // AE (do Bx // AC ).

Suy ra ABDE là hình bình hành.

Hình bình hành ABDE có $\widehat{BAE}=90°$ (do ∆ABC vuông tại A) nên ABDE là hình chữ nhật.

Ta lại có $AE=\frac{1}{2}AC$ (do E là trung điểm của AC), suy ra $AE=\frac{1}{2}.8=4$ (cm).

Khi đó AB = AE = 4 (cm).

Hình chữ nhật ABDE có AB = AE nên ABDE là hình vuông.

c) Hình vuông ABDE có AD cắt BE tại I, suy ra I là trung điểm của AD và BE.

Xét ∆ADC có I là trung điểm AD, E là trung điểm AC

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: IE // CD và $IE=\frac{1}{2}CD$.

Tứ giác BDCE có: BE // CD (vì IE // CD); BD // EC (vì Bx // AC).

Suy ra BDCE là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo BC và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC, suy ra M cũng là trung điểm của DE.

∆ADE có đường trung tuyến AM và EI cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của ∆ADE.

Suy ra $KI=\frac{1}{3}EI=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2}EB\right)=\frac{1}{6}EB=\frac{1}{6}DC$.

Vậy DC = 6KI.