Cho phương trình x/x-2 = 1/x+1 +1. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho

Giải Toán 9 Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Hoạt động khám phá 3 trang 8 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$.

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Xét các phép biến đổi như sau:

$\begin{array}{l}\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1\\ \frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}\end{array}$

$\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

$x^2+x=x^2-4$

$x=-4$

Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.

c) $x=-4$ có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $x-2\ne 0$ và $x+1\ne 0$

khi $x\ne 2$ và $x\ne -1$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne 2$ và $x\ne -1$.

b) $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$

Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là $x+1$: $\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}$

Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là $(x-2)(x+1)$: $\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.$x^2+x=x^2-4$

Giải phương trình ta được $x=-4$

c) Thay $x=-4$ vào phương trình, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{-4}{(-4)-2}=\frac{1}{(-4)+1}+1\\ \frac{-4}{-6}=\frac{1}{-3}+1\\ \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0\\ 0=0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x=-4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy $x=-4$ là nghiệm của phương trình đã cho.