Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S

Giải SBT Toán 8 Bài 11: Hình thang cân

Bài 3.10 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, đi qua trung điểm của CD.

Lời giải:

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD, $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

Xét ∆ABC và ∆BAD có

BC = AD, AC = BD, cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{ABD}$.

Từ đó OAB là tam giác cân tại O, nên OA = OB.

Ta có: OA + OC = AC; OB + OD = BD, mà OA = OB, AC = BD

Suy ra OC = OD.

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do AB // CD nên $\widehat{SAB}=\widehat{SDC}$;$\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ hay $\widehat{SDC}=\widehat{SCD}$ suy ra $\widehat{SAB}=\widehat{SDC}=\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$

Suy ra SAB, SCD là các tam giác cân tại đỉnh S nên SA = SB, SC = SD

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.