Cho hàm số f(x)=cos^2 x +cos^2 (2pi/3+x) +cos^2 (2pi/3-x). Tính đạo hàm f'(x) và chứng tỏ f'(x) = 0

Giải SBT Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 9.12 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=co{s}^{2}x+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$ . Tính đạo hàm f'(x) và chứng tỏ f'(x) = 0 với mọi x $\in$ ℝ.

Lời giải:

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(co{s}^{2}x+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\right)}^{\text{'}}$

$={\left(co{s}^{2}x\right)}^{\text{'}}+{\left(co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)\right)}^{\text{'}}+{\left(co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\right)}^{\text{'}}$

$$\begin{gathered} =2\cos x\cdot {\left(cosx\right)}^{\text{'}}+2cos\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)\cdot {\left(cos\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)\right)}^{\text{'}}+ \\ 2cos\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\cdot {\left(cos\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\right)}^{\text{'}} \end{gathered}$$

$=-2\cos x\cdot \sin x-2\cos \left(\frac{2\pi }{3}+x\right)\sin \left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+2\cos \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$

$=-\sin 2x-\sin \left(\frac{4\pi }{3}+2x\right)+\sin \left(\frac{4\pi }{3}-2x\right)$

$=-\sin 2x-\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3}+2x\right)+\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3}-2x\right)$

$=-\sin 2x+\sin \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$

= -sin2x + 2cos$\frac{\pi }{3}$sin2x = -sin2x + sin2x = 0.

Vậy f'(x) = 0 với mọi x $\in$ ℝ.