Cho hàm số f(x)=4sin^2 (2x-pi/3). Chứng minh rằng |f'(x)| nhỏ hơn bằng 8 với mọi x thuộc R

Giải SBT Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 9.13 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 4sin²$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$. Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 8 với mọi x $\in$ ℝ. Tìm x để f'(x) = 8.

Lời giải:

+ Có

Vì với mọi x $\in$ ℝ nên với mọi x $\in$ ℝ .

Vậy |f'(x)| ≤ 8 với mọi x $\in$ ℝ.

+ Có f'(x) = 8 $\iff$8sin$\left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)$=8

$\iff \sin \left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)=1$

$\iff 4x-\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (k $\in$ ℤ)

$\iff 4x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ (k $\in$ ℤ)

$\iff x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$ (k $\in$ ℤ).

Vậy f'(x) = 8 khi $x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$ với k $\in$ ℤ.