Cho D là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh: a) góc BDC > góc BAC; b) BD + DC < AB + AC

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Ôn tập chương 9

Bài 9.23 trang 59 SBT Toán 7 Tập 2:Cho D là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\widehat{BDC}>\widehat{BAC}$ ;

b) BD + DC < AB + AC.

Lời giải:

a) Tia AD chia góc A thành góc A₁ và góc A₂, chia cóc BDC thành góc D₁ và góc D₂ như hình vẽ trên.

Xét tam giác BDM có: ${\widehat{D}}_1={\widehat{A}}_1+\widehat{ABD}$  nên ${\widehat{D}}_1>{\widehat{A}}_1$ .

Xét tam giác CDM có: ${\widehat{D}}_2={\widehat{A}}_2+\widehat{ACD}$  nên ${\widehat{D}}_2>{\widehat{A}}_2$

Nên suy ra $\widehat{D}={\widehat{D}}_1+{\widehat{D}}_2>{\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2=\widehat{A}$  (đpcm).

b) Lấy E là giao điểm của BD và AC.

Ta có: AB + AC = AB + AE + EC (1)

Trong tam giác ABE, theo bất đẳng thức tam giác ta có: AB + AE > BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BE + EC = BD + DE + EC (3)

Trong tam giác CDE, theo bất đẳng thức tam giác ta có: DE + EC > DC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AB + AC > BD + DC (đpcm).