TOP 33 câu hỏi Trắc nghiệm Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Ví dụ 1. Tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất của 30 và 45

Lời giải

Ta có B(30) = {0; 30; 60; 90; 120; 150; 180; 210; 240; 270; …}

B(45) = {0; 45; 90; 135; 180; 225; 270; …}

BC(30, 45) = {0; 90; 180; 270; …}.

BCNN(30, 45) = 90.

Nhận xét: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Nếu a $⋮$ b thì BCNN(a, b) = a.

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Ví dụ 2. Tìm bội chung nhỏ nhất của các số sau:

a) 12 và 36;

b) 124 và 1.

Lời giải

a) Vì 36 $⋮$ 12 nên BCNN(12, 36) = 36;

b) Vì 124 là bội của 1 nên BCNN(1; 124) = 124.

2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Ví dụ 3. Tìm bội chung nhỏ nhất của 21 và 14.

Lời giải

Ta có 21 = 3.7; 14 = 2.7.

Khi đó BCNN(21, 14) = 2.3.7 = 42.

Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm BCNN của các số đã cho.

Bước 2. Tìm các bội của BCNN đó.

Ví dụ 4. Tìm BC(12, 24, 30)

Lời giải

Ta có: 12 = 2².3; 24 = 2³.3; 30 = 2.3.5.

BCNN(12, 24, 30) = 2³.3.5 = 120.

BC(12, 24, 30) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; …}.

3. Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số:

Để quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$, ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.

Ví dụ 5. Quy đồng mẫu số các phân số sau:

a) $\frac{9}{12}$ và $\frac{4}{15}$;                                               b)  $\frac{2}{7};\frac{5}{21}$ và $\frac{8}{14}$.

Lời giải

a) Ta có 12 = 2².3; 15 = 3.5.

BCNN(12, 15) = 2².3.5 = 60.

Ta có: 60:12 = 5; 60:15 = 4. Khi đó:

$\frac{9}{12}=\frac{9.5}{12.5}=\frac{45}{60}$ và $\frac{4}{15}=\frac{4.4}{15.4}=\frac{16}{60}.$

b) Ta có: 7 = 7, 21 = 3. 7, 14 = 2.7.

BCNN(7, 21, 14) = 2.3.7 = 42.

Ta có: 42:7 = 6, 42:21 = 2, 42:14 = 3. Khi đó:

$\frac{2}{7}=\frac{2.6}{7.6}=\frac{12}{42};\frac{5}{21}=\frac{5.2}{21.2}=\frac{10}{42}$ và $\frac{8}{14}=\frac{8.3}{14.3}=\frac{24}{42}.$

B. Bài tập

Bài 1. Tìm BCNN của các số sau:

a) 27 và 36;

b) 49 và 14.

Lời giải

a) Ta có: 27 = 3³, 36 = 2².3².

Khi đó BCNN(27, 36) = 3³.2² = 27.4 = 108.

Vậy BCNN(27, 36) = 108.

b) Ta có 49 = 7², 14 = 2.7.

Khi đó BCNN(49, 14) = 7².2 = 49.2 = 98.

Vậy BCNN(49, 14) = 98.

Bài 2. Học sinh lớp 6A và 6B khi xếp thành 3 hàng, 5 hàng hay 6 hàng đều vừa đủ. Biết số học sinh của hai lớp từ 70 đến 100 học sinh. Tính số học sinh của lớp 6A và 6B.

Lời giải

Vì số học sinh của lớp 6A và 6B xếp thành 3 hàng, 5 thàng hay 6 hàng đều vừa đủ nghĩa là số học sinh của hai lớp 6A và 6B chia hết cho 3 , 5 và 6 hay số học sinh của lớp 6A và 6B là bội chung của 3, 5 và 6.

Ta có: 3 = 3, 6 = 2.3, 5 = 5.

BCNN(3, 5, 6) = 2.3.5 = 30.

BC(3, 5, 6) = B(30) = {0; 30; 60; 90; 120; …}.

Suy ra $x\in \left\{0;30;60;90;120;\dots \right\}$

Biết số học sinh của hai lớp từ 70 đến 100 học sinh nên số học sinh hai lớp là 90.

Vậy số học sinh của hai lớp 6A và 6B là 90 học sinh.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{7}{11}+\frac{5}{3};$                                                    b) $\frac{2}{15}-\frac{1}{20}$.

Lời giải

a) $\frac{7}{11}+\frac{5}{3}=\frac{7.3}{11.3}+\frac{5.11}{3.11}=\frac{21}{33}+\frac{55}{33}=\frac{21+55}{33}=\frac{76}{33};$

b) $\frac{2}{15}-\frac{1}{20}=\frac{2.4}{15.4}-\frac{1.3}{20.3}=\frac{8}{60}-\frac{3}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}.$

I. Nhận biết

Câu 1. Một số tự nhiên a khác 0 nhỏ nhất thỏa mãn a $⋮$ 12 và a $⋮$ 36. Khi đó a là:

A. ƯC(12, 36).

B. BC(12, 36).

C. ƯCLN(12, 36).

D. BCNN(12, 36).

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì a $⋮$ 12 và a $⋮$ 36 nên a là bội chung của 12 và 36.

Mà a là số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất nên a chính là BCNN(12, 36).

Câu 2. Sắp xếp các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

1 – Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

2 – Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

3 – Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

A. 1 – 2 – 3.

B. 2 – 3 – 1.

C. 3 – 1 – 2.

D. 3 – 2 – 1.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

3 – Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

2 – Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

1 – Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Câu 3. Bội chung của hai hay nhiều số là gì:

A. là một tập hợp.

B. là ước của tất cả các số đó.

C. là bội của tất cả các số đó.

D. A, B và C đều đúng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Câu 4. Nếu x $⋮$ a, x$⋮$ b thì:

A. x $\in$ BC(a, b).

B. x là BCNN(a, b).

C. x $\in$ ƯC(a,b).

D. x là ƯCLN(a, b).

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Nếu x $⋮$ a, x$⋮$ b thì x $\in$ BC(a, b).

Câu 5. Mọi số tự nhiên a và b khác 0 ta có:

A. BCNN(a, b, 1) = a.

B. BCNN(a, b, 1) = b.

C. BCNN(a, b, 1) = 1.

D. BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với  mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Câu 6. Cho biết BC(4, 6) = {0; 12; 24; 36; 48; …}. Hãy cho biết BCNN(4, 6).

A. BCNN(4,6) = 0.

B. BCNN(4, 6) = 12.

C. BCNN(4, 6) = 24.

D. BCNN(4, 6) = 36.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Trong tập hợp BC(4, 6) ta thấy bội chung nhỏ nhất khác 0 là 12.

Nên BCNN(4, 6) = 12.

Câu 7. Nếu 20 $⋮$ a và 20 $⋮$ b thì 20 là ………………….. của a và b.

A. ước chung.

B. bội chung.

C. ước chung lớn nhất.

D. bội chung nhỏ nhất.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Nếu 20$⋮$ a và 20 $⋮$ b thì 20 là bội chung của a và b.

Câu 8. Nếu 30 là số tự nhiên nhỏ nhất mà 30 $⋮$ a và 30$⋮$ b thì 30 là …………….. của a và b.

A. ước chung.

B. bội chung.

C. ước chung lớn nhất.

D. bội chung nhỏ nhất.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Nếu 30 là số tự nhiên nhỏ nhất mà 30$⋮$a và 30 $⋮$ b thì 30 là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Câu 9. Cho m = 3.5² và n = 5².7. Tìm ƯCLN(m, n):

A. 5;

B. 25;

C. 75;

D. 105.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: m = 3.5² và n = 5².7.

Tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất là: 5².

ƯCLN(m, n) = 5² = 25.

Câu 10. Cho m = 2².3.5 và n = 2.3².5. Tìm BCNN(m, n):

A. 30;

B. 60;

C. 90;

D. 180.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có m = 2².3.5 và n = 2.3².5

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 2².3².5 = 180.

BCNN(m, n) = 180.

II. Thông hiểu

Câu 1. Cho hai số tự nhiên 15 và 25. Tập hợp BC(15, 25) là:

A. BC(15, 25) = 75.

B. BC(15, 25) = 0; 75; 150; 225; …

C. BC(15, 25) = {0; 75; 150; 225; …}.

D. BC(15, 25) ={75}.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: 15 = 3.5; 25 = 5².

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 3.5².

BCNN(15, 25) = 3.5² = 3.25 = 75.

BC(15, 25) = B(75) = {0; 75; 150; 225; …}.

Câu 2. Tìm bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 7.

A. 84.

B. 0; 84. 

C. 0; 84; 168.

D. 84; 168.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: 3 = 3; 4 = 2²;  7 = 7.

Khi đó BCNN(3, 4, 7) = 3.2².7 = 84.

Suy ra BC(3, 4, 7) = B(84) = {0; 84; 168; 252; …}.

Bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 7 là 0; 84; 168.

Câu 3. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a  28 và a  32.

A. a = 32.

B. a = 28.

C. a = 224.

D = a = 0.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì a $⋮$ 28 và a $⋮$32 nên a là BC(28, 32).

Mà a là nhỏ nhất nên a là BCNN(28, 32).

Ta có: 28 = 2².7; 32 = 2⁵.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 2⁵.7.

BCNN(28, 32) = 2⁵.7 = 32.7 = 224.

Vậy a = 224.

Câu 4. Quy đồng mẫu các phân số sau: $\frac{5}{14}$ và $\frac{4}{21}$.

A. Hai phân số sau khi quy đồng: $\frac{10}{21}$ và $\frac{4}{21}$.

B. Hai phân số sau khi quy đồng: $\frac{15}{21}$ và $\frac{4}{21}$.

C. Hai phân số sau khi quy đồng: $\frac{15}{42}$ và $\frac{8}{42}$.

D. Hai phân số sau khi quy đồng: $\frac{10}{42}$ và $\frac{8}{42}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có 14 = 7.2; 21 = 7.3.

BCNN(14; 21) = 7.2.3 = 42.

Khi đó 42:14 = 3; 42:21 = 2, ta được:

$\frac{5}{14}=\frac{5.3}{14.3}=\frac{15}{42}$; $\frac{4}{21}=\frac{4.2}{21.2}=\frac{8}{42}$.

Vậy hai phân số sau khi quy đồng: $\frac{15}{42}$ và $\frac{8}{42}$.

Câu 5. Thực hiện phép tính: $\frac{7}{11}+\frac{5}{7}$.

A. $\frac{103}{77}$;

B. $\frac{104}{77};$

C. $\frac{105}{77};$

D. $\frac{94}{77}.$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Mẫu chung là BCNN(7, 11) = 77. Khi đó:

$$\begin{gathered} \frac{7}{11}+\frac{5}{7} \\ =\frac{7.7}{11.7}+\frac{5.11}{7.11} \\ =\frac{49}{77}+\frac{55}{77}=\frac{104}{77}. \end{gathered}$$

Câu 6. Biết BCNN(84, 70) = 2^x.3^y.5^z.7^t. Tính tích x.y.z.t:

A. 0;

B. 2;

C. 5;

D. 3.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: 84 = 2².3.7; 70 = 2.5.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 2².3.5.7.

Do đó BCNN(84, 70) = 2².3.5.7.

Khi đó x = 2, y = 1, z = 1, t = 1.

Vậy x.y.z.t = 2.1.1.1 = 2.

Câu 7. Hai số có BCNN là 2³.3.5³ và ƯCLN là 2².5. Biết một trong hai số bằng 2².3.5, tìm số còn lại.

A. 2².1.5³;  

B. 2.1.5³;

C. 2².1.5²; 3

D. 2.1.5

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có tích hai số đúng bằng tích của BCNN và ƯCLN.

Nên số còn lại là: (2³.3.5³.2².5) : (2².3.5) = (2⁵.3.5⁴):(2².3.5)

= (2⁵:2³).(3:3).(5⁴:5) = 2².1.5³.

Vậy số cần tìm là: 2².1.5³.

Câu 8. Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. $\frac{15}{17}$ là phân số tối giản.

B. BCNN(25; 15) = {0; 75; 150; 225; …}.

C. 

$$\begin{gathered} \frac{5}{12}+\frac{7}{15}=\frac{5.5}{12.5}+\frac{7.4}{15.4} \\ =\frac{15}{60}+\frac{28}{60}=\frac{15+28}{60}=\frac{43}{60}. \end{gathered}$$

D. Cả A, B và C đều đúng.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

+) Ta có ƯCLN(15,17) = 1 nên $\frac{15}{17}$ là phân số tối giản. Do đó A đúng.

+) Ta có 25 = 5²; 15 = 3.5

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 3.5².

BCNN(15, 25) = 3.5² = 3.25 = 75. Do đó B sai.

+)

$$\begin{gathered} \frac{5}{12}+\frac{7}{15}=\frac{5.5}{12.5}+\frac{7.4}{15.4} \\ =\frac{25}{60}+\frac{28}{60}=\frac{25+28}{60}=\frac{53}{60}. \end{gathered}$$

Do đó C sai.

Suy ra D sai.

Câu 9. Tìm BCNN(56, 24, 21).

A. 8;

B. 168;

C. 21;

D. 24.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 56 = 2³.7; 24 = 2³.3; 21 = 3.7.

Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là: 2³.3.7.

BCNN(56, 24, 21) = 2³.3.7 = 8.3.7 = 168.

Câu 10. Bạn Nam thực hiện phép tính $\frac{5}{20}+\frac{9}{26}$ như sau:

Bước 1: Rút gọn phân số $\frac{5}{20}$: 

$\frac{5}{20}+\frac{9}{26}=\frac{1}{4}+\frac{9}{26}.$

Bước 2: 4 = 2², 26 = 2.13. Suy ra BCNN(4, 26) = 2.13 = 26 suy mẫu chung là 26.

Bước 3: Khi đó: 26:4 = 6, 26:26 = 1. Ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}+\frac{9}{26}=\frac{1.6}{4.6}+\frac{9.1}{26.1} \\ =\frac{6+9}{26}=\frac{15}{26}. \end{gathered}$$

Hỏi bạn Nam sai từ bước nào?

A. Bước 1;                     

B. Bước 2;                     

C. Bước 3;                     

D. Không sai bước nào.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Bạn Nam sai từ bước 2(bước tìm mẫu số chung).

Sửa lại

Bước 1: Rút gọn phân số $\frac{5}{20}$: 

$\frac{5}{20}+\frac{9}{26}=\frac{1}{4}+\frac{9}{26}.$

Bước 2: 4 = 2², 26 = 2.13. Suy ra BCNN(4, 26) = 2².13 = 52 suy mẫu chung là 52.

Bước 3: Khi đó: 52:4 = 13, 52:26 = 2. Ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}+\frac{9}{26}=\frac{1.13}{4.13}+\frac{9.2}{26.2} \\ =\frac{13+18}{52}=\frac{31}{52}. \end{gathered}$$

III. Vận dụng

Câu 1. Tìm các số tự nhiên a và b (a < b), biết ƯCLN(a, b) = 15 và BCNN(a, b) = 180. Hỏi có bao nhiêu cặp số a và b như thế?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt a = 15m, b = 15 n với $m,n\in {\mathbb{N}}^{*}$, m < n và ƯCLN(m, n) = 1.

Ta có: ab = ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = 15.180 = 2 700.

Do đó (15m).(15n) = 2700

Hay 15.15.m.n = 2 700

225.m.n = 2 700

m.n = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6.

Vì m, n là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn m < n và nguyên tố cùng nhau nên:

+) m = 1, n = 12 suy ra a = 15, b = 180.

+) m = 3, n = 4 suy ra a = 45; n = 60.

Vậy có 2 cặp (a, b).

Câu 2. Trong một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng 400 đến 500 người tham gia. Thầy tổng phụ trách cho xếp thành hàng 5, hàng 6 và hàng 8 thì đều thừa một người. Hỏi có chính xác bao nhiêu người dự buổi tập đồng diễn thể dục.

A. 480;

B. 481;

C. 360;

D. 361.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi số người tham gia buổi tập đồng diễn thể dục là x ($x\in \mathbb{N}$, 400 < x < 500).

Do số người tham gia xếp thàng hàng 5, hàng 6 và hàng 8 đều thừa một người nên ta có:

x – 1 $⋮$5

x – 1$⋮$6

x – 1 $⋮$ 8

nên x – 1 $\in$ BC(5, 6, 8).

Ta có 5 = 5, 6 = 2.3, 8 = 2³.

Khi đó: BCNN(5, 6, 8) = 2³.3.5 = 8.3.5 = 120.

Suy ra BC(5, 6, 8) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; 600; …}.

Do đó x – 1 $\in${0; 120; 240; 360; 480; 600; …}.

Hay x $\in${1; 121; 241; 361; 481; 601; …}.

Mà 400 < x < 500 nên x = 481.

Câu 3. Học sinh lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 7 đều vừa đủ hàng. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu, biết rằng số học sinh nhỏ hơn 45?

A. 42;

B. 45;

C.21;

D. 35.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Số học sinh lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 7 đều vừa đủ nên số học sinh là bội chung của 2, 3 và 7.

Ta có: 2 = 2, 3 = 3, 7 = 7.

BCNN(2, 3, 7) = 2.3.7 = 42.

BC(2, 3, 7) = B(42) = {0; 42; 84; 126; …}.

Mà số học sinh nhỏ hơn 45 nên số học sinh của 6A là 42 học sinh.