Giải Toán 6 Bài 13: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất - Chân trời sáng tạo

Giải Toán 6 Bài 13: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 6 trang 40 Tập 1

Toán lớp 6 trang 40 Hoạt động khởi động

Có cách nào tìm được mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số không?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ biết được cách tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số chính là cách tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu số đó.

Toán lớp 6 trang 40 Hoạt động khám phá 1

a) Bài toán “Đèn nhấp nháy”

Hai dây đèn nhấp nháy với ánh sáng màu xanh, đỏ phát sáng một cách đều đặn. Dây đèn xanh cứ sau 4 giây lại phát sáng một lần, dây đèn đỏ lại phát sáng một lần sau 6 giây. Cả hai dây đèn cùng phát sáng lần đầu tiên vào lúc 8 giờ tối. Giả thiết thời gian phát sáng không đáng kể.

Hình sau thể hiện số giây tính từ lúc 8 giờ tối đến lúc đèn sẽ phát sáng các lần tiếp theo:

Dựa vào hình trên, hãy cho biết sau bao nhiêu giây hai đèn cùng phát sáng lần tiếp theo kể từ giây đầu tiên.

b) Viết các tập B(2), B(3). Chỉ ra ba phần tử chung của hai tập hợp này.

Lời giải:

a) Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy được kể từ giây đầu tiên thì sau 12 giây hai đèn sẽ sáng cùng lúc.

b) Để tìm được bội của một số tự nhiên, ta lần lượt nhân số đó với các số 0, 1, 2, 3….

Khi đó ta có:

B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; …}

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; …}

Ba phần tử chung (khác 0) của hai tập hợp này là: 6; 12; 18.

Toán lớp 6 trang 40 Thực hành 1

Các khẳng định sau đúng hay sai? Giải thích.

a) 20 $\in$ BC(4, 10);

b) 36 $\in$ BC(14, 18);

c) 72 $\in$ BC(12, 18, 36).

Lời giải:

a) B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; …}

B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; …}

Hai tập hợp này có cùng một số phần tử chung như 0; 20; 40; …Ta nói chúng là bội chung của 4 và 10. Ta viết BC(4, 10) = {0; 20; 40; …}

Do đó 20 $\in$ BC(4, 10).

Vậy 20 $\in$ BC(4, 10) là đúng.

b) B(14) = {0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; 112; 126 …}

B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; …}

Hai tập hợp này có cùng một số phần tử chung như 0; 126; …Ta nói chúng là bội chung của 14 và 18. Ta viết BC(14, 18) = {0; 126;…}

Do đó 36 $\in$ BC(14, 18).

Vậy 36 $\in$ BC(14, 18) là sai.

c) B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; …}

B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; …}

B(36) = {0; 36; 72; 108; 144; 180 …}

72 $\in$ BC(12, 18, 36)

Vậy 72 $\in$ BC(12, 18, 36) là đúng.

Giải Toán 6 trang 41 Tập 1

Toán lớp 6 trang 41 Thực hành 2

Hãy viết:

a) Các tập hợp: B(3); B(4); B(8).

b) Tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4.

c) Tập hợp K các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8.

Lời giải:

a) Các tập hợp:

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; …}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; …}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 40; 48; 56; 64; 72; …}

b) Ta có: BC(3, 4) = {0; 12; 24; 36; 48; …}

Vì M là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và là bội chung của 3 và 4 nên M được viết:

M = {0; 12; 24; 36; 48}.

c) Ta có: BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48; 72; …}

Vì tập hợp K gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8 nên K được viết:

K = {0; 24; 48}.

Toán lớp 6 trang 41 Hoạt động khám phá 2

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8). Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 6 và 8.

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(3, 4, 8). Hãy nhận xét về mối quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 3, 4 và 8.

Lời giải:

- Ta có:

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; …}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …}

Do đó: BC(6, 8) = {0; 24; 48; …}

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp trên là 24 và 24 là ước của các bội chung của 6 và 8. Nói cách khác các bội chung của 6 và 8 cũng là bội của BCNN này.

- Lại có:

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; …}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; …}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 40; 48; 56; 64; 72; …}

Do đó: BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48; …}

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp trên là 24 và 24 là ước của tất cả các bội chung của 3, 4, 8. Nói cách khác thì các bội chung của 3, 4, 8 là bội của BCNN này.

Giải Toán 6 trang 42 Tập 1

Toán lớp 6 trang 42 Thực hành 3

Viết tập hợp BC(4, 7), từ đó chỉ ra BCNN(4, 7). Hai số 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau không?

Lời giải:

Ta có:

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…}

B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; …}

Do đó: BC(4, 7) = {0; 28; 56; …}

Trong các bội chung của 4 và 7 thì 28 là số nhỏ nhất khác 0

Nên BCNN(4, 7) = 28.

Ta có ƯCLN(4, 7) = 1 nên 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

Toán lớp 6 trang 42 Thực hành 4

Tìm BCNN(24, 30); BCNN(3, 7, 8); BCNN(12, 16, 48).

Lời giải:

+) Phân tích mỗi số 24, 30 ra thừa số nguyên tố:

$24=2^3.3;30=\mathrm{2.3.5}$

Các thừa số chung là 2 và 3, thừa số riêng là 5.

Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó: 2³.3.5.

Vậy BCNN(24, 30) = $2^3\mathrm{.3.5}=120.$

+) Phân tích mỗi số 3, 7, 8 ra thừa số nguyên tố:

$3=3;7=7;8=2^3$

Các thừa số riêng là 2; 3; 7.

Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó: 2³.3.7.

Vậy BCNN(3, 7, 8) = $2^3\mathrm{.3.7}=168$

+) Phân tích mỗi số 12, 16 và 48 ra thừa số nguyên tố:

$12=2^2.3;16=2^4;48=2^4.3$

Các thừa số chung và riêng là: 2, 3.

Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó: 2⁴.3

Vậy BCNN(12, 16,48) = $2^4.3=48$

Toán lớp 6 trang 42 Thực hành 5

Tìm BCNN(2, 5, 9); BCNN(10, 15, 30).

Lời giải:

+) Vì 2; 5; 9 đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó BCNN của chúng là tích của các số đó

Do đó BCNN(2, 5, 9) = 2.5.9 = 90.

+) Vì 30 chia hết cho 10 và 15 nên 30 là bội của 10 và 15

Do đó: BCNN(10, 15, 30) = 30

Giải Toán 6 trang 43 Tập 1

Toán lớp 6 trang 43 Thực hành 6

1) Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) $\frac{5}{12}$ và $\frac{7}{30}$

b) $\frac{1}{2}; \frac{3}{5}$ và $\frac{5}{8}$

2) Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{1}{6}+\frac{5}{8}$ ;

b) $\frac{11}{24}-\frac{7}{30}$ .

Lời giải:

1)

a) 12 = 2².3, 30 = 2.3.5;

Các thừa số chung và riêng là 2, 3, 5.

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất: 2².3.5 = 60.

Khi đó: BCNN(12, 30) = 60

60 : 12 = 5; 60 : 30 = 2. Do đó:

$\frac{5}{12}=\frac{5.5}{12.5}=\frac{25}{60}$ và $\frac{7}{30}=\frac{7.2}{30.2}=\frac{14}{60}$

b) 2 = 2, 5 = 5, 8 = 2³

Các thừa số chung và riêng là 2, 5.

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất: 2³.5 = 40.

Khi đó: BCNN(2, 5, 8) = 40

40:2 = 20; 40:5 = 8; 40:8 = 5. Do đó:

$\frac{1}{2}=\frac{1.20}{2.20}=\frac{20}{40};\frac{3}{5}=\frac{3.8}{5.8}=\frac{24}{40}$ và $\frac{5}{8}=\frac{5.5}{8.5}=\frac{25}{40}$

2)

a) Ta có BCNN(6,8) = 24.

24: 6 = 4; 24:8 = 3. Do đó

$\frac{1}{6}+\frac{5}{8}=\frac{1.4}{6.4}+\frac{5.3}{8.3}=\frac{4}{24}+\frac{15}{24}=\frac{19}{24}$

b) Ta có BCNN(24, 30) = 120.

120:24 = 5; 120:30 = 4. Do đó:

$\frac{11}{24}-\frac{7}{30}=\frac{11.5}{24.5}-\frac{7.4}{30.4}=\frac{55}{120}-\frac{28}{120}=\frac{27}{120}=\frac{9}{40}$

B. Bài tập

Toán lớp 6 trang 43 Bài 1

Tìm:

a) BC(6, 14);

b) BC(6, 20, 30);

c) BCNN(1, 6);

d) BCNN(10, 1, 12);

e) BCNN(5, 14).

Lời giải:

a) Ta có:

$6=2.3;14=2.7\Rightarrow BCNN(6,14)=\mathrm{2.3.7}=42.$

Khi đó tập hợp bội chung của 6 và 14 là tập hợp bội của 42:

BC(6, 14) = B(42) = {0; 42; 84; 126; …}.

b) Ta có:

$6=2.3;20=2^2.5;30=\mathrm{2.3.5}\Rightarrow BCNN(6,20,30)=2^2\mathrm{.3.5}=60.$

Khi đó tập hợp bội chung của 6, 20 và 30 là tập hợp bội của 60:

BC(6, 20, 30) = B(60) = {0; 60; 120; 180; …}.

c) Vì 1 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN(1, 6) = 1.6 = 6.

d) Ta có: BCNN(10, 1, 12) = BCNN(10, 12)

Phân tích 10 và 12 ra thừa số nguyên tố:

$10=2.5,12=2^2.3$

Suy ra BCNN(10, 12) = 2².3.5 = 60.

Vậy $BCNN\left(10,1,12\right)=2^2\mathrm{.3.5}=60$

e) Vì 5 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN(5, 14) = 5.14 = 70.

Toán lớp 6 trang 43 Bài 2

a) Ta có BCNN(12, 16) = 48. Hãy viết tập hợp A các bội của 48. Nhận xét về tập hợp BC(12, 16) và tập hợp A.

b) Để tìm tập hợp bội chung của hai số tự nhiên a và b, ta có thể tìm tập hợp các bội của BCNN(a, b). Hãy vận dụng để tìm tập hợp các bội chung của:

i.24 và 30;

ii. 42 và 60;

iii. 60 và 150;

iv.28 và 35.

Lời giải:

a) Các bội của 48 là 0, 48, 96, 144, 196,…

Do đó: A = {0; 48; 96; 144; 192;…}

BC(12, 16) = {0; 48; 96; 144; 192;…}

* Nhận xét: Tập hợp BC(12, 16) chính là tập hợp A.

b)

i) Ta có: $24=2^3.3;30=\mathrm{2.3.5}$

Suy ra $BCNN\left(24,30\right)=2^3\mathrm{.3.5}=120$

Vậy BC(24, 30) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480; …}

ii) Ta có: $42=\mathrm{2.3.7};60=2^2\mathrm{.3.5}$

Suy ra $BCNN\left(42,60\right)=2^2\mathrm{.3.5.7}=420$

Vậy BC(42, 60) = B(42) = {0; 420; 840; 1260; …}.

iii) Ta có: $60=2^2\mathrm{.3.5};150={\mathrm{2.3.5}}^2$

$\Rightarrow BCNN\left(60,150\right)=2^2{\mathrm{.3.5}}^2=300$

BC(60, 150) = B(300) = {0; 300; 600; 900; …}.

iv) Ta có: $28=2^2.7;35=5.7$

$\Rightarrow BCNN\left(28,35\right)=2^2\mathrm{.5.7}=140$

$\Rightarrow BC\left(28,35\right)=B\left(140\right)=\left\{0;140;280;420;\mathrm{...}\right\}$

Bài 3 trang 43 SGK Toán 6 Tập 1 - CTST: Quy đồng mẫu số các phân số sau (có sử dụng bội chung nhỏ nhất)...

Toán lớp 6 trang 43 Bài 3

Quy đồng mẫu số các phân số sau (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

a) $\frac{3}{16}$ và $\frac{5}{24}$

b) $\frac{3}{20};\frac{11}{30}$ và

Lời giải:

a) 16 = 2⁴, 24 = 2³.3

Khi đó BCNN(16, 24) = 2⁴.3 = 48.

48:16 = 3; 48:24 = 2. Do đó:

$\frac{3}{16}=\frac{3.3}{16.3}=\frac{9}{48}$ và $\frac{5}{24}=\frac{5.2}{24.2}=\frac{10}{48}$

b) 20 = 2².5; 30 = 2.3.5; 60 = 2².3.5.

Khi đó BCNN(20, 30, 15) = 2².3.5 = 60.

60:20 = 3; 60:30 = 2; 60:15 = 4. Do đó:

$\frac{3}{20}=\frac{3.3}{20.3}=\frac{9}{60};\frac{11}{30}=\frac{11.2}{30.2}=\frac{22}{60}$ và $\frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60}.$

Giải Toán 6 trang 44 Tập 1

Toán lớp 6 trang 44 Bài 4

Thực hiện phép tính (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

a) $\frac{11}{15}+\frac{9}{10};$

b) $\frac{5}{6}+\frac{7}{9}+\frac{11}{12};$

c) $\frac{7}{24}-\frac{2}{21};$

d) $\frac{11}{36}-\frac{7}{24}$

Lời giải:

a) BCNN(15, 10) = 30

$\frac{11}{15}+\frac{9}{10}=\frac{11.2}{15.2}+\frac{9.3}{10.3}=\frac{22}{30}+\frac{27}{30}=\frac{49}{30}$

b) BCNN(6, 9, 12) = 36

$\frac{5}{6}+\frac{7}{9}+\frac{11}{12}=\frac{5.6}{6.6}+\frac{7.4}{9.4}+\frac{11.3}{12.3}=\frac{30}{36}+\frac{28}{36}+\frac{33}{36}=\frac{91}{36}.$

c) BCNN(24, 21) = 168

$\frac{7}{24}-\frac{2}{21}=\frac{7.7}{24.7}-\frac{2.8}{21.8}=\frac{49}{168}-\frac{16}{168}=\frac{33}{168}=\frac{11}{56}$

d) BCNN(36, 24) = 72

$\frac{11}{36}-\frac{7}{24}=\frac{11.2}{36.2}-\frac{7.3}{24.3}=\frac{22}{72}-\frac{21}{72}=\frac{1}{72}$

Toán lớp 6 trang 44 Bài 5

Chị Hòa có một số bông sen. Nếu chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì đều vừa hết. Hỏi chị Hòa có bao nhiêu bông sen? Biết rằng chị Hòa có khoảng từ 200 đến 300 bông.

Lời giải:

- Gọi x là số bông sen chị Hòa có. (x là số tự nhiên thuộc khoảng từ 200 đến 300)

- Vì chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông đều vừa hết nên số bông sen chị Hòa có là bội chung của 3, 5 và 7.

- Suy ra x ∈ BC(3, 5, 7)

Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau

BCNN(3, 5, 7) = 3 . 5 . 7 =105

BC(3, 5, 7) = B(105) = {0; 105; 210; 315;…}

x ∈ BC(3, 5, 7) ={0; 105; 210; 315;…}

Mà 200 ≤ x ≤ 300 Nên x = 210.

Số bông sen chị Hòa có là 210 bông.

Lý thuyết Toán 6 Bài 12: Bội chung, Bội chung nhỏ nhất - Chân trời sáng tạo

1. Bội chung

Một số được gọi là bội chung của hai hay nhiều số nếu nó là bội của tất cả các số đó.

Ví dụ: Ta có: B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; …};

B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; …}.

Hai tập hợp này có một số phần tử chung như 0; 36; 72; … Ta nói chúng là các bội chung của 9 và 12.

• Kí hiệu tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b).

• Tương tự, tập hợp các bội chung của a, b, c là BC(a, b, c).

Ví dụ:

- Tập hợp các bội chung của 15 và 55 là BC(15, 55).

- Tập hợp các bội chung của 16; 20; 25 là BC(16, 20, 25).

Cách tìm bội chung của hai số a và b:

- Viết tập hợp B(a) và bội B(b).

- Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Ví dụ:

Ta có: B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...}

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; ...}

Những phần tử chung của B(2) và B(3) là 0; 6; 12; ...

Do đó BC(2, 3) = {0; 6; 12; ...}.

2. Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b).

Tương tự, bội chung nhỏ nhất của a, b và c là BCNN(a, b, c).

Nhận xét: Tất cả các bội chung của a và b đều là bội của BCN(a, b). Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.

Do đó, với mọi số tự nhiên a và b (khác 0) ta có:

BCNN(a, 1) = a;

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Ví dụ:

• Ta có: BC(6, 8) = {0; 24; 48; 72; …} vì 24 là số nhỏ nhất khác 0 trong số các bội chung của 6 và 8, nên BCNN(6, 8) = 24.

Tất cả các bội chung của 6 và 8 (là 0; 24; 48; 72; …) đều là bội của BCNN(6, 8) là 24.

• BCNN(8, 1) = 1;

• BCNN(6, 8, 1) = BCNN(6, 8) = 24.

3. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Quy tắc:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Ví dụ: Tìm BCNN của 15 và 20.

Hướng dẫn giải

Ta có: 15 = 3 . 5; 20 = 2² . 5.

Thừa số nguyên tố chung và riêng là 2; 3 và 5.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2; của 3 là 1 và của 5 là 1.

Do đó BCNN(15, 20) = 2² . 3 . 5 = 60.

Chú ý:

• Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.

Ví dụ: 3 và 8; 8 và 11; 11 và 3 là các cặp đôi một nguyên tố cùng nhau.

Khi đó, BCNN(3, 8, 11) = 3 . 8 . 11 = 264.

• Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy.

Ví dụ: Ta có BCNN(6, 12, 36) = 36 vì 36 ⋮ 9; 36 ⋮ 12 và 36 lớn hơn 9 và 12.

4. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Quy tắc:

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) để làm mẫu số chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu số riêng).

Bước 3: Nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu số hai phân số 7/30 và 5/42.

Hướng dẫn giải

Ta có: 30 = 2 . 3 . 5; 42 = 2 . 3 . 7.

Thừa số nguyên tố chung và riêng là 2; 3; 5 và 7.

Số mũ lớn nhất của 2; 3; 5 và 7 đều là 1.

Khi đó, BCNN(30, 42) = 2 . 3 . 5 . 7 = 210.

Do đó BC(30; 42) = {0; 210; 420; ...}

Cách 1: Chọn mẫu chung là 210. Ta được:

.

Cách 2: Chọn mẫu chung là một bội chung bất kì khác 0 của 30 và 42.

Chẳng hạn: chọn mẫu chung là 420, ta được:

.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 6 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: