Giải Toán 6 Bài 4: Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 6 trang 65 Hoạt động khởi động

Tích của hai số nguyên âm là số thế nào?

Tìm thương của phép chia hết hai số nguyên như thế nào?

Lời giải:

Sau bài này ta sẽ biết được là:

+ Tích của hai số nguyên âm sẽ là một số nguyên dương.

+ Cách để tìm thương của phép chia hết hai số nguyên như sau:

Cho hai số nguyên a và b:

Nếu tồn tại một số nguyên q thỏa mãn a = b. q thì thương của phép chia số nguyên a cho số nguyên b là q.

Toán lớp 6 trang 65 Hoạt động khám phá 1

a) Hoàn thành các phép tính sau: (-4).3 = (-4) + (-4) + (-4) = ?

b) Theo cách trên, hãy tính: (-5).2; (-6).3

c) Em có nhận xét gì về dấu của tích hai số nguyên khác dấu?

Lời giải:

a) (-4).3 = (-4) + (-4) + (-4) = (-8) + (-4) = -12.

b) (-5).2 = (-5) + (-5) = -10;

(-6).3 = (-6) + (-6) + (-6) = -18.

c) Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu sẽ là một số nguyên và số nguyên đó mang dấu âm.

Toán lớp 6 trang 65 Thực hành 1

Thực hiện phép tính sau:

a) (-5).4;

b) 6.(-7);

c) (-14).20;

d) 51.(-24).

Lời giải:

a) (-5).4 = -(5.4) = - 20;

b) 6.(-7) = - (6.7) = -42;

c) (-14).20 = - (14.20) = - 280;

d) 51.(-24) = - (51.24) = -1 224.

Toán lớp 6 trang 65 Vận dụng 1

Một xí nghiệp may gia công có chế độ thưởng và phạt như sau: Một sản phẩm tốt được thưởng 50 000 đồng, một sản phẩm có lỗi bị phạt 40 000 đồng. Chị Mai làm được 20 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm bị lỗi. Em hãy thực hiện phép tính sau để biết chị Mai nhận được bao nhiêu tiền.

20. (+50 000) + 4. (-40 000) = ?

Lời giải:

Chị Mai nhận được số tiền là:

20. (+50 000) + 4. (-40 000) = 1 000 000 + (- 160 000) = 840 000 (đồng)

Vậy chị Mai nhận được 840 000 đồng.

Giải Toán 6 trang 66 Tập 1

Toán lớp 6 trang 66 Hoạt động khám phá 2

a) Nhân hai số nguyên dương

Ta đã biết nhân hai số nguyên dương. Hãy thực hiện các phép tính sau:

(+3).(+4) = 3.4 = ?

(+5).(+2) = 5.2 = ?

b) Nhân hai số nguyên âm

Hãy quan sát kết quả của bốn tích đầu và dự đoán kết quả của hai tích cuối.

Lời giải:

a) (+3).(+4) = 3.4 = 12

(+5).(+2) = 5.2 = 10.

b) Theo kết quả của bốn tích đầu, ta thấy tích sau sẽ lớn hơn tích trước 5 đơn vị; vậy theo kết quả này thì hai tích sau sẽ được tính như sau:

(-1).(-5) = 5 (vì 0 + 5 = 5)

(-2).(-5) = 10 (vì 5 + 5 = 10).

Toán lớp 6 trang 66 Thực hành 2

Tính các tích sau:

a = (-2).(-3);

b = (-15).(-6);

c = (+3).(+2);

d = (-10).(-20).

Lời giải:

a = (-2).(-3) = 2.3 = 6;

b = (-15).(-6) = 15.6 = 90;

c = (+3).(+2) = 3.2 = 6;

d = (-10).(-20) = 10.20 = 200.

Giải Toán 6 trang 67 Tập 1

Toán lớp 6 trang 67 Hoạt động khám phá 3

Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.

Lời giải:

+) a = 4, b = 3

a.b = 4.3 = 12

b.a = 3.4 = 12.

Vậy 4.3 = 3.4

+) a = -2, b = -3

a.b = (-2).(-3) = 2.3 = 6

b.a = (-3).(-2) = 3.2 = 6.

Vậy (-2).(-3) = (-3).(-2).

+) a = -4, b = 2

a.b = (-4).2 = - (4. 2)= -8

b.a = 2.(-4) = -(2. 4)= -8

Vậy (-4).2 = 2.(-4).

+) a = 2, b = -9

a.b = 2.(-9) = - (2 . 9) = -18

b.a = (-9).2 = - (9 . 2) = -18

Vậy 2.(-9) = (-9).2.

Ta có bảng sau:

Nhận xét: a.b = b.a.

Toán lớp 6 trang 67 Hoạt động khám phá 4

Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.

Lời giải:

+) Với a = 4, b = 3, c = 2

(4.3).2 = 12.2 = 24;

4.(3.2) = 4.6 =24.

Vậy (4.3).2 = 4.(3.2).

+) Với a = -2, b = -3, c = 5

[(-2).(-3)].5 = 6.5 = 30;

(-2).[(-3).5] = (-2).(-15) =30.

Vậy [(-2).(-3)].5 = (-2).[(-3).5].

+) Với a = -4, b = 2, c = 7

[(-4).2].7 = (-8).7 = -56;

(-4).(2.7) = (-4).14 = - 56.

Vậy [(-4).2].7 = (-4).(2.7).

+) Với a = -2, b = -9, c = -3

[(-2).(-9)].(-3) = 18.(-3)= -54;

(-2).[(-9).(-3)] = (-2).(+27) = -54.

Vậy [(-2).(-9)].(-3) = (-2).[(-9).(-3)] .

Nhận xét: (a.b).c = a.(b.c).

Giải Toán 6 trang 68 Tập 1

Toán lớp 6 trang 68 Thực hành 3

a) P là tích của 8 số nguyên khác 0 trong đó có đúng 4 số dương. Q là tích của 6 số nguyên khác 0 trong đó có duy nhất một số dương. Hãy cho biết P và Q là số dương hay số âm.

b) Tích của các số nguyên âm có số thừa số là số lẻ thì có dấu gì?

c) Tích của các số nguyên âm có số thừa số là số chẵn thì có dấu gì?

Lời giải:

a) P là tích của 8 số nguyên khác 0 và có đúng 4 số dương nên 4 số còn lại nguyên âm.

Mà tích của 4 số nguyên dương là một số nguyên dương, tích của 4 số nguyên âm còn lại cùng là một số nguyên dương. Do đó P dương.

Q là tích của 6 số nguyên khác 0 trong đó có duy nhất một số dương nên 5 số còn lại là số nguyên âm và tích của 5 số nguyên âm cũng là một số nguyên âm. Do đó Q âm.

b) Tích của các số nguyên âm có số thừa số là số lẻ thì có dấu âm.

c) Tích của các số nguyên âm có số thừa số là số chẵn thì có dấu dương.

Toán lớp 6 trang 68 Hoạt động khám phá 5

Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.

Lời giải:

+) Với a = 4, b = 3, c = 2

4.(3+2) = 4.5 = 20;

4.3 + 4.2 = 12 + 8 =20.

Vậy 4.(3 + 2) = 4.3 + 4.2.

+) Với a = -2, b = -3, c = 5

(-2).[(-3) + 5] = (-2).(2) = -4;

(-2).(-3) + (-2).5 = 6 + (-10) = -4.

Vậy (-2).[(-3) + 5] = (-2).(-3) + (-2).5.

+) Với a = -4, b = 2, c = 7

(-4).(2 + 7) = (-4).9 = - 36;

(-4).2 + (-4).7 = (-8) + (-28) = - 36.

Vậy (-4).(2 + 7) = (-4).2 + (-4).7.

+) Với a = -2, b = -9, c = -3

(-2).[(-9) + (-3)] = (-2).(-12) = 24;

(-2).(-9) + (-2).(-3) = 18 + 6 = 24.

Vậy (-2).[(-9) + (-3)] = (-2).(-9) + (-2).(-3).

Nhận xét a(b + c) = ab + ac.

Toán lớp 6 trang 68 Thực hành 4

Thực hiện phép tính:

(-2).29 + (-2).(-99) + (-2).(-30).

Lời giải:

(-2).29 + (-2).(-99) + (-2).(-30).

= (-2).[29 + (-99) + (-30)]

= (-2).[(-70) + (-30)]

= (-2).(-100)

= 2 . 100

= 200.

Toán lớp 6 trang 68 Hoạt động khám phá 6

Một tàu lặn thám hiểm đại dương lặn xuống thêm được 12 m trong 3 phút. Hỏi trung bình mỗi phút tàu lặn xuống thêm được bao nhiêu mét?

Hãy dùng số nguyên âm để giải bài toán trên.

Lời giải:

Trong 3 phút, tàu lặn xuống 12 m hay tàu lặn được: - 12 m

Một phút tàu lặn được: (-12) : 3 = - 4 m.

Vậy mỗi phút tàu lặn xuống thêm được 4 m.

Giải Toán 6 trang 69 Tập 1

Toán lớp 6 trang 69 Thực hành 5

Tìm thương của các phép chia sau:

a) (-2 020):2;

b) 64: (-8);

c) (-90):(-45);

d) (- 2 121):3

Lời giải:

a) (- 2 020):2 = - 1 010;

b) 64:(-8) = -8;

c) (-90):(-45) = 2;

d) (-2 121):3 = -707.

Toán lớp 6 trang 69 Vận dụng 2

Một máy cấp đông (làm lạnh nhanh) trong 6 phút đã làm thay đổi nhiệt độ được $-12°C$. Hỏi trung bình trong một phút máy đã làm thay đổi được bao nhiêu độ C?

Lời giải:

Trong một phút máy đã làm thay đổi được: $-12:6=-2°C$

Vậy trung bình một phút máy đã làm thay đổi nhiệt độ được $-12°C$.

Toán lớp 6 trang 69 Thực hành 6

a) -10 có phải là một bội của 2 hay không?

b) Tìm các ước của 5.

Lời giải:

a) Vì (-10): 2 = -5 nên -10 chia hết cho 2, do đó -10 là một bội của 2.

b) Các ước nguyên dương của 5 là 1; 5.

Do đó các ước nguyên âm của 5 là -1; -5

Vậy Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}.

B. Bài tập

Giải Toán 6 trang 70 Tập 1

Toán lớp 6 trang 70 Bài 1

Tính:

a) (-3).7;

b) (-8).(-6);

c) (+12).(-20);

d) 24.(+50).

Lời giải:

a) (-3).7 = - (3 . 7) = - 21;

b) (-8).(-6) = 8 . 6 = 48;

c) (+12).(-20) = - (12 . 20) = -240;

d) 24.(+50) = 24 . 50 = 1 200.

Toán lớp 6 trang 70 Bài 2

Tìm tích 213.3. Từ đó suy ra nhanh kết quả của các tích sau:

a) (- 213).3;

b) (- 3).213;

c) (- 3).(- 213).

Lời giải:

Ta có: 213.3 = 639

Từ đó suy ra:

a) (- 213).3 = - 639;

b) (- 3).213 = - 639;

c) (- 3).(- 213) = 639.

Toán lớp 6 trang 70 Bài 3

Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) (+4).(-8) với 0;

b) (-3).4 với 4;

c) (-5).(-8) với (+5).(+8).

Lời giải:

a) Vì (+4).(- 8) ra kết quả mang dấu âm. Do đó (+4).(- 8) < 0.

b) Vì (- 3).4 ra kết quả mang dấu âm mà 4 là số nguyên dương. Do đó (- 3).4 < 4.

c) Vì (- 5) (- 8) và (+5).(+8) ra kết quả mang giá trị dương và đều bằng 5 . 8

Do đó (- 5).(- 8) = (+5).(+8).

Toán lớp 6 trang 70 Bài 4

Thực hiện phép tính

a) (- 3).(- 2).(- 5). 4;

b) 3.2.(- 8).(- 5).

Lời giải:

a) (- 3).(- 2) .(- 5) .4 = [(-3).4)].[(-2).(-5)] = (-12).10 = -120.

b) 3.2.(- 8).(- 5) = [3.(-8)].[2.(-5)] = (-24).(-10) = 240.

Toán lớp 6 trang 70 Bài 5

Một kho lạnh đang ở nhiệt độ 2^oC, một công nhân cần đặt chế độ làm cho nhiệt độ của kho trung bình cứ mỗi phút giảm đi 2^oC. Hỏi sau 5 phút nữa nhiệt độ trong kho là bao nhiêu?

Lời giải:

Cứ mỗi phút giảm 2^oC

Sau 5 phút nhiệt độ giảm: 5.2 = 10^oC

Vậy: Sau 5 phút nữa nhiệt độ trong kho là: 8 – 10 = -2^oC

Toán lớp 6 trang 70 Bài 6

Bạn Hồng đang ngồi trên máy bay, bạn ấy thấy màn hình thông báo nhiệt độ bên ngoài máy bay là $-28°C$. Máy bay đang hạ cánh, nhiệt độ bên ngoài trung bình mỗi phút tăng lên $4°C$. Hỏi sau 10 phút nữa nhiệt độ bên ngoài máy bay là bao nhiêu độ C?

Lời giải:

Nhiệt độ bên ngoài trung bình mỗi phút tăng lên $4°C$

Sau 10 phút nữa nhiệt độ tăng: 4.10 = $40°C$

Vậy: Sau 10 phút nữa nhiệt độ bên ngoài máy bay là:

- 28 + 40 = $12°C$

Toán lớp 6 trang 70 Bài 7

Tìm số nguyên x, biết:

a) (- 24).x = - 120;

b) 6.x = 24.

Lời giải:

a) (- 24).x = - 120

x = (- 120):(- 24)

x = 5

Vậy x = 5.

b) 6.x = 24

x = 24:6

x = 4

Vậy x = 4.

Toán lớp 6 trang 70 Bài 8

Tìm hai số nguyên khác nhau a và b thỏa mãn a ⋮ b và b ⋮ a.

Lời giải:

Vì a ⋮ b và b ⋮ a.

Vì a chia hết cho b nên a là bội của b mà b cũng chia hết cho a nên b là bội của a.

Suy ra a = b hoặc a = -b (a, b $\ne$ 0)

Mà a và b là hai số nguyên khác nhau nên a = - b hay a và b là số đối của nhau.

Toán lớp 6 trang 70 Bài 9

Tìm tất cả các ước của các số nguyên sau: 6; -1; 13; -25.

Lời giải:

+) Ta thấy 6 chia hết cho các số: 1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6.

Vậy Ư(6) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6}

+) Ta thấy -1 chia hết cho 1; -1.

Vậy Ư(-1) = {1; -1}

+) Ta có 13 chia hết cho 1; -1; 13 và -13.

Vậy Ư(13) = {1; -1; 13; -13}

+) Ta thấy -25 chia hết cho 1; -1; 5; -5; 25; -25.

Vậy Ư(-25) = {1; -1; 5; -5; 25; -25}

Toán lớp 6 trang 70 Bài 10

Tìm ba bội của 5; -5.

Lời giải:

Ta nhân 5 với các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; …

Suy ra B(5) = {0; 5; 25;…}.

Ta nhân -5 với các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; …

Suy ra B(-5) = {0; -5; -25;…}

Toán lớp 6 trang 70 Bài 11

Nhiệt độ đầu tuần tại một trạm nghiên cứu ở Nam Cực là $-25°C$ . Sau 7 ngày nhiệt độ tại đây là $-39°C$ . Hỏi trung bình mỗi ngày nhiệt độ thay đổi bao nhiêu độ C?

Lời giải:

Sau 7 ngày nhiệt độ thay đổi: (– 39) – (–25) = – 39 + 25 = $-14°C$

Do đó sau 7 ngày nhiệt độ giảm $14°C$

Trung bình mỗi ngày nhiệt độ giảm: 14 : 7 = $2°C$

Hay nhiệt độ trung bình mỗi ngày thay đổi $-2°C$

Vậy trung bình mỗi ngày nhiệt độ thay đổi $-2°C$

Toán lớp 6 trang 70 Bài 12

Sau một quý kinh doanh, bác Ba lãi được 60 triệu đồng, còn chú Tư lại lỗ 12 triệu đồng. Em hãy tính xem bình quân trong một tháng mỗi người lãi hay lỗ bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Ta có: Một quý sẽ gồm có 3 tháng.

Trong một tháng số tiền lãi của bác Ba: 60:3 = 20 (triệu đồng)

Trong một tháng số tiền lỗ của bác Tư: 12:3 = 4 (triệu đồng)

Vậy bình quân trong một tháng số tiền lãi/lỗ của mỗi người là:

Bác Ba lãi: 20 triệu đồng (Có 20 triệu đồng).

Bác Tư lỗ: 4 triệu đồng (Có - 4 triệu đồng).

Lý thuyết Toán 6 Bài 4: Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên - Chân trời sáng tạo

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu

− Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.

− Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu trừ (−) trước kết quả nhận được.

Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có:

(+ a) . (−b) = − a . b

(− a) . (+ b) = − a . b

Ví dụ: Tính:

a) (−9) . 4;

b) 6 . (−11);

c) (−14) . 50.

Hướng dẫn giải

a) (−9) . 4 = −(9. 4) = − 36;

b) 6 . (−11) = − (6 . 11) = −66;

c) (−14) . 50 = − (14 . 50) = − 700.

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu

− Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

− Khi nhân hai số nguyên cùng âm, ta nhân hai số đối của chúng.

Chú ý:

• Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: (−a) . (−b) = (+a) . (+b) = a . b.

• Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.

Ví dụ: Tính:

a) 15 . 6;

b) (−55) . (−10);

c) (+22) . (+11).

Hướng dẫn giải

a) 15 . 6 = 90;

b) (−55) . (−10) = 55 . 10 = 550;

c) (+22) . (+11) = 22 . 11 = 242.

3. Tính chất của phép nhân các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

Phép nhân hai số nguyên có tính chất giao hoán, nghĩa là:

a . b = b . a

Chú ý:

• a . 1 = 1 . a = a;

• a . 0 = 0 . a = 0.

• Cho hai số nguyên x, y:

Nếu x . y = 0 thì x = 0 hoặc y = 0.

Ví dụ: Nếu (a + 5) . (a – 14) = 0 thì

a + 5 = 0 hoặc a – 14 = 0.

Suy ra a = –5 hoặc a = 14.

b) Tính chất kết hợp

Phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp:

(a . b) . c = a . (b . c)

Chú ý: Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể viết tích của nhiều số nguyên:

a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c.

Ví dụ:

[(−4) . (−5)] . 8 = (−4) . [(−5) . 8]

= (−4) . (−5) . 8 = 4 . 5 . 8

= 20 . 8 = 160.

c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép cộng:

a(b + c) = ab + ac

Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép trừ:

a(b − c) = ab – ac

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

(−5) . 29 + (−5) . (−99) + (−5) . (−30).

Hướng dẫn giải

(−5) . 29 + (−5) . (−99) + (−5) . (−30)

= (−5) . [29 + (−99) + (−30)]

= (−5) . [(−70) + (−30)]

= (−5) . (−100)

= 5 . 100

= 500.

4. Quan hệ chia hết và phép chia trong tập hợp số nguyên

Cho $�,�\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì

• Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮ b.

• Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích.

Ta gọi q là thương của phép chia a cho b, kí hiệu là a : b = q.

Ví dụ: Ta có: (−15) = 3 . (−5) nên ta nói:

• (−15) chia hết cho (−5);

• (−15) : (−5) = 3;

• 3 là thương của phép chia (−15) cho (−5).

5. Bội và ước của một số nguyên

Cho $�,�\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ . Nếu a ⋮ b thì ta nói a là bội của b là b là ước của a.

Ví dụ: Ta có (−15) ⋮ (−5) nên ta nói (−15) là bội của (−5) và (−5) là ước của (−15).

Nếu c vừa là ước của a, vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

Ví dụ: Vì 4 vừa là ước của 8 vừa là ước của 12 nên 4 là ước chung của 8 và 12.