Giải Toán 12 trang 64 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 12 trang 64 Tập 1 trong Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 64 Tập 1.

1 1,251 16/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 trang 64 Tập 1

Vận dụng 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có tọa độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11; 4). Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc $\hat{B A C}$ .

Lời giải:

a) Ta có $\vec{A B} = (4; 6; 8)$ ; $\vec{A C} = (8; 10; 3)$ ; $\vec{B C} = (4; 4; - 5)$ .

Khi đó: $|\vec{A B}| = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 8^{2}} = 2 \sqrt{29}$ ;

$|\vec{A C}| = \sqrt{8^{2} + 10^{2} + 3^{2}} = \sqrt{173}$ ;

$\vec{B C} = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{57}$ .

b) Ta có $\cos \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{|\vec{A B}| . |\vec{A C}|} = \frac{4.8 + 6.10 + 8.3}{2 \sqrt{29} . \sqrt{173}} = \frac{119}{2 \sqrt{5017}}$ $\Rightarrow \hat{B A C} \approx 35 ° 2'$ .

Bài tập

Bài 1 trang 64 Toán 12 Tập 1: Tính:

a) $\vec{a} . \vec{b}$ với $\vec{a} = (5; 2; - 4), \vec{b} = (4; - 2; 2)$ .

b) $\vec{c} . \vec{d}$ với $\vec{c} = (2; - 3; 4), \vec{d} = (6; 5; - 3)$ .

Lời giải:

a) $\vec{a} . \vec{b} = 5.4 + 2. (- 2) + (- 4) .2 = 8$ .

b) $\vec{c} . \vec{d} = 2.6 + (- 3) .5 + 4. (- 3) = - 15$ .

Bài 2 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a} = (0; 1; 3)$ và $\vec{b} = (- 2; 3; 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $2 \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{a}$ .

Lời giải:

Có $\frac{3}{2} \vec{a} = (0; \frac{3}{2}; \frac{9}{2})$ ; $2 \vec{b} = (- 4; 6; 2)$ .

Tọa độ của vectơ $2 \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{a}$ là $(- 4 - 0; 6 - \frac{3}{2}; 2 - \frac{9}{2})$ hay $(- 4; \frac{9}{2}; - \frac{5}{2})$ .

Bài 3 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(2; 1; −1), B(3; 2; 0) và C(2; −1; 3).

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 1), \vec{A C} = (0; - 2; 4), \vec{B C} = (- 1; - 3; 3)$ .

Vì $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.

Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Ta có chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC

= $\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + \sqrt{0^{2} + {(- 2)}^{2} + 4^{2}} + \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 3^{2}}$

$= \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{19}$

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA.

Tọa độ điểm M là

$M (\frac{2 + 3}{2}; \frac{1 + 2}{2}; \frac{- 1 + 0}{2})$ hay $M (\frac{5}{2}; \frac{3}{2}; \frac{- 1}{2})$ .

Tọa độ điểm N là

$N (\frac{3 + 2}{2}; \frac{2 - 1}{2}; \frac{0 + 3}{2})$ hay $N (\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ .

Tọa độ điểm P là

$P (\frac{2 + 2}{2}; \frac{1 - 1}{2}; \frac{- 1 + 3}{2})$ hay $P (2; 0; 1)$ .

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

$G (\frac{2 + 3 + 2}{3}; \frac{1 + 2 - 1}{3}; \frac{- 1 + 0 + 3}{3})$ hay $G (\frac{7}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ .

Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Gọi M', M", M"' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• O là trung điểm của MM';

• MM" vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM".

• MM"' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM"'.

Lời giải:

a) Ta có M₁(1; 2; 0), M₂(0; 2; 3), M₃(1; 0; 3).

b) +) Vì O là trung điểm của MM' nên

$\{\begin{cases} x_{M^{'}} = 2 x_{O} - x_{M} \\ y_{M^{'}} = 2 y_{O} - y_{M} \\ z_{M^{'}} = 2 z_{O} - z_{M} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M^{'}} = 2.0 - 1 \\ y_{M^{'}} = 2.0 - 2 \\ z_{M^{'}} = 2.0 - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M^{'}} = - 1 \\ y_{M^{'}} = - 2 \\ z_{M^{'}} = - 3 \end{cases}$

Vậy M'(−1; −2; −3).

+) Vì H $\in$ (Oxy) nên H(x; y; 0).

Ta có $\vec{M H} = (x - 1; y - 2; - 3)$ .

Vì MH $⊥$ (Oxy) $\Rightarrow \{\begin{cases} M H ⊥ O x \\ M H ⊥ O y \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} \vec{M H} . \vec{i} = 0 \\ \vec{M H} . \vec{j} = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Do đó H(1; 2; 0).

Vì H là trung điểm của MM" nên

$\{\begin{cases} x_{M^{''}} = 2 x_{H} - x_{M} \\ y_{M^{''}} = 2 y_{H} - y_{M} \\ z_{M^{''}} = 2 z_{H} - z_{M} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M^{''}} = 2.1 - 1 \\ y_{M^{''}} = 2.2 - 2 \\ z_{M^{''}} = 2.0 - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M^{''}} = 1 \\ y_{M^{''}} = 2 \\ z_{M^{''}} = - 3 \end{cases}$

Vậy M"(1; 2; −3).

+) Vì K $\in$ Oy nên K(0; y; 0) $\Rightarrow \vec{M K} = (- 1; y - 2; - 3)$

Vì $M K ⊥ O y$ nên $\vec{H K} . \vec{j} = 0$ $\Leftrightarrow y - 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2$ . Do đó K(0; 2; 0).

Vì K là trung điểm của MM"' nên

$\{\begin{cases} x_{{M^{''}}^{'}} = 2 x_{K} - x_{M} \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2 y_{K} - y_{M} \\ z_{{M^{''}}^{'}} = 2 z_{K} - z_{M} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{{M^{''}}^{'}} = 2.0 - 1 \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2.2 - 2 \\ z_{{M^{''}}^{'}} = 2.0 - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{{M^{''}}^{'}} = - 1 \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2 \\ z_{{M^{''}}^{'}} = - 3 \end{cases}$

Vậy M'''(−1; 2; −3).

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(3; 3; 3), B(1; 1; 2) và C(5; 3; 1).

a) Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai điểm B, C.

b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) cách đều ba điểm A, B, C.

Lời giải:

a) Vì M $\in$ Oy nên M(0; y; 0).

Vì M cách đều hai điểm B, C nên MB = MC hay MB² = MC²

$\Leftrightarrow 1^{2} + {(1 - y)}^{2} + 2^{2} = 5^{2} + {(3 - y)}^{2} + 1^{2}$

$\Leftrightarrow 4 y = 29 \Leftrightarrow y = \frac{29}{4}$

Vậy $M (0; \frac{29}{4}; 0)$ .

b) Vì N $\in$ (Oxy) nên N(x; y; 0).

Vì N cách đều ba điểm A, B, C nên NA = NB = NC hay NA² = NB² = NC²

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Vậy $N (2; \frac{13}{4}; 0)$ .

Bài 6 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho các điểm A(−1; −1; 0), B(0; 3; −1), C(−1; 14; 0), D(−3; 6; 2). Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Lời giải:

Ta có $\vec{A B} = (1; 4; - 1)$ , $\vec{A C} = (0; 15; 0)$ , $\vec{D C} = (2; 8; - 2)$ .

Vì $\vec{D C} = (2; 8; - 2) = 2 (1; 4; - 1) = 2 \vec{A B}$ nên $\vec{D C}$ và $\vec{A B}$ cùng phương.

Mặt khác $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương nên CD // AB.

Do đó ABCD là hình thang.

Bài 7 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt là hình bình hành.

Ta có $\vec{A D} = \vec{B C}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - 1 = x_{C} - 2 \\ - 1 - 0 = y_{C} - 1 \\ 1 - 1 = z_{C} - 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{C} = 2 \\ y_{C} = 0 \\ z_{C} = 2 \end{cases}$ .

Vậy C(2; 0; 2).

Ta có $\vec{D C} = \vec{D^{'} C^{'}}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 - 1 = 4 - x_{D^{'}} \\ 1 = 5 - y_{D^{'}} \\ 2 - 1 = - 5 - z_{D^{'}} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D^{'}} = 3 \\ y_{D^{'}} = 4 \\ z_{D^{'}} = - 6 \end{cases}$ .

Vậy D'(3; 4; −6).

Ta có $\vec{A D} = \vec{A^{'} D^{'}}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - 1 = 3 - x_{A^{'}} \\ - 1 - 0 = 4 - y_{A^{'}} \\ 1 - 1 = - 6 - z_{A^{'}} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A^{'}} = 3 \\ y_{A^{'}} = 5 \\ z_{A^{'}} = - 6 \end{cases}$ .

Vậy A'(3; 5; −6).

Ta có $\vec{A^{'} D^{'}} = \vec{B^{'} C^{'}}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - 3 = 4 - x_{B^{'}} \\ 4 - 5 = 5 - y_{B^{'}} \\ - 6 + 6 = - 5 - z_{B^{'}} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{B^{'}} = 4 \\ y_{B^{'}} = 6 \\ z_{B^{'}} = - 5 \end{cases}$ .