Cho ba điểm A(2; 1; −1), B(3; 2; 0) và C(2; −1; 3). a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 3 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(2; 1; −1), B(3; 2; 0) và C(2; −1; 3).

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(0;-2;4\right),\overrightarrow{BC}=\left(-1;-3;3\right)$ .

Vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.

Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Ta có chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC

= $\sqrt{1^2+1^2+1^2}+\sqrt{0^2+{\left(-2\right)}^2+4^2}+\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2+3^2}$

$=\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{19}$

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA.

Tọa độ điểm M là

$M\left(\frac{2+3}{2};\frac{1+2}{2};\frac{-1+0}{2}\right)$ hay $M\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2};\frac{-1}{2}\right)$ .

Tọa độ điểm N là

$N\left(\frac{3+2}{2};\frac{2-1}{2};\frac{0+3}{2}\right)$ hay $N\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ .

Tọa độ điểm P là

$P\left(\frac{2+2}{2};\frac{1-1}{2};\frac{-1+3}{2}\right)$ hay $P\left(2;0;1\right)$ .

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

$G\left(\frac{2+3+2}{3};\frac{1+2-1}{3};\frac{-1+0+3}{3}\right)$ hay $G\left(\frac{7}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$ .