Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm tọa độ của các điểm: a) M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Gọi M', M", M"' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• O là trung điểm của MM';

• MM" vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM".

• MM"' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM"'.

Lời giải:

a) Ta có M₁(1; 2; 0), M₂(0; 2; 3), M₃(1; 0; 3).

b) +) Vì O là trung điểm của MM' nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=2x_O-x_M\\ y_{M^{\text{'}}}=2y_O-y_M\\ z_{M^{\text{'}}}=2z_O-z_M\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=2.0-1\\ y_{M^{\text{'}}}=2.0-2\\ z_{M^{\text{'}}}=2.0-3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=-1\\ y_{M^{\text{'}}}=-2\\ z_{M^{\text{'}}}=-3\end{array}\right.$

Vậy M'(−1; −2; −3).

+) Vì H $\in$ (Oxy) nên H(x; y; 0).

Ta có $\overrightarrow{MH}=\left(x-1;y-2;-3\right)$ .

Vì MH $\perp$ (Oxy) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MH\perp Ox\\ MH\perp Oy\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{i}=0\\ \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{j}=0\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ y-2=0\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$

Do đó H(1; 2; 0).

Vì H là trung điểm của MM" nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}\text{'}}}=2x_H-x_M\\ y_{M^{\text{'}\text{'}}}=2y_H-y_M\\ z_{M^{\text{'}\text{'}}}=2z_H-z_M\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}\text{'}}}=2.1-1\\ y_{M^{\text{'}\text{'}}}=2.2-2\\ z_{M^{\text{'}\text{'}}}=2.0-3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}\text{'}}}=1\\ y_{M^{\text{'}\text{'}}}=2\\ z_{M^{\text{'}\text{'}}}=-3\end{array}\right.$

Vậy M"(1; 2; −3).

+) Vì K $\in$ Oy nên K(0; y; 0)$\Rightarrow \overrightarrow{MK}=\left(-1;y-2;-3\right)$

Vì $MK\perp Oy$ nên $\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{j}=0$ $\iff y-2=0\iff y=2$ . Do đó K(0; 2; 0).

Vì K là trung điểm của MM"' nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2x_K-x_M\\ y_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2y_K-y_M\\ z_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2z_K-z_M\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2.0-1\\ y_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2.2-2\\ z_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2.0-3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=-1\\ y_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=2\\ z_{{M^{\text{'}\text{'}}}^{\text{'}}}=-3\end{array}\right.$

Vậy M'''(−1; 2; −3).