Cho tam giác MNP có M(0; 1; 2), N(5; 9; 3), P(7; 8; 2). a) Tìm tọa độ điểm K là chân đường cao kẻ từ M

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Thực hành 5 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho tam giác MNP có M(0; 1; 2), N(5; 9; 3), P(7; 8; 2).

a) Tìm tọa độ điểm K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MNP.

b) Tìm độ dài cạnh MN và MP.

c) Tính góc M.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{NP}=\left(2;-1-1\right)$ .

Vì K là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống NP nên K $\in$ NP và MK $\perp$ NP.

Gọi K(x; y; z), ta có $\overrightarrow{KP}=\left(7-x;8-y;2-z\right)$ .

Vì $\overrightarrow{NP}$ và $\overrightarrow{KP}$ cùng phương nên tồn tại t $\in$ ℝ sao cho $\overrightarrow{KP}=t\overrightarrow{NP}$ .

Do đó $\left\{\begin{array}{l}7-x=2t\\ 8-y=-t\\ 2-z=-t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=7-2t\\ y=8+t\\ z=2+t\end{array}\right.$. Suy ra K(7 – 2t; 8 + t; 2 + t).

Khi đó $\overrightarrow{MK}=\left(7-2t;7+t;t\right)$ .

Vì MK $\perp$ NP nên $\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{NP}=0$$\iff \left(7-2t\right).2+\left(7+t\right).\left(-1\right)+t\left(-1\right)=0$$\iff t=\frac{7}{6}$

Vậy $K\left(\frac{14}{3};\frac{55}{6};\frac{19}{6}\right)$ .

b) Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(5;8;1\right)$ ; $\overrightarrow{MP}=\left(7;7;0\right)$ .

$MN=\sqrt{5^2+8^2+1^2}=3\sqrt{10}$; $MP=\sqrt{7^2+7^2+0^2}=7\sqrt{2}$ .

c) Ta có $\cos \hat{M}=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}}{MN.MP}=\frac{5.7+8.7+1.0}{3\sqrt{10}.7\sqrt{2}}=\frac{91}{42\sqrt{5}}=\frac{13\sqrt{5}}{30}$$\Rightarrow \hat{M}\approx 14°18\text{'}$