Giải Toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 97 Tập 1

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

a) Hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo nên OA = OC, OB = OD.

Khi đó $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ đối, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ là hai vectơ đối.

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Ta có

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}} \\ =\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD} \end{gathered}$$

$=4\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$

$=4\overrightarrow{MO}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}}=4\overrightarrow{MO}$.

b) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}$ hay $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A\text{D}}=2\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A\text{D}}=2\overrightarrow{AC}$.

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$;

b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$.

Do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=2\overrightarrow{MO}$.

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{ON}$.

Do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{ON}$.

hay $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MN}$.

Do đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}=2\overrightarrow{MN}$.

b) Ta có $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C\text{D}}$

Do đó

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C\text{D}} \\ =\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C\text{D}}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}} \end{gathered}$$.

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A\text{D}}$.

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Do $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{MA}=-4\overrightarrow{MB}$ do đó $\left|\overrightarrow{MA}\right|=\left|-4\right|\left|\overrightarrow{MB}\right|=4\left|\overrightarrow{MB}\right|$ hay MA = 4MB.

Ta thấy -4 < 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Do đó A và B nằm ở hai phía so với điểm M.

Ta thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d, trên đường thẳng d xác định hai điểm M và B.

Bước 2. Trên đường thẳng d, xác định điểm A sao cho A và B nằm ở hai phía so với điểm M thỏa mãn MA = 4MB.

Ta có hình vẽ như sau:

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

Do E là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GE}$.

Do F là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GF}$.

Do G là trung điểm của EF nên $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2\left(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}\right)=\overrightarrow{0}$.

Ta có

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}} \\ =\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD} \end{gathered}$$

$=4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{MG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{M\text{D}}=4\overrightarrow{MG}$.

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của máy bay A.

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{a}\right|$ = 600, $\left|\overrightarrow{b}\right|$ = 800.

Do đó $\left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{800}{600}\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{4}{3}\left|\overrightarrow{a}\right|$ hay b = $\frac{4}{3}$a.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{b}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}$.

Vậy $\overrightarrow{b}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}$.

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Xác định điểm O sao cho $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MO}$.

Lời giải:

a) Do $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}$ do đó $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|-3\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|=3\left|\overrightarrow{OB}\right|$ hay OA = 3OB.

Ta thấy -3 < 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng.

Do đó A và B nằm ở hai phía so với điểm O.

Ta thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d, trên đường thẳng d xác định hai điểm O và B.

Bước 2. Trên đường thẳng d, xác định điểm A sao cho A và B nằm ở hai phía so với điểm O thỏa mãn OA = 3OB.

Ta có hình vẽ như sau:

b)

Ta có

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right) \\ =4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{MO} \end{gathered}$$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MO}$.

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB},\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$.

b) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$.

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

Do đó M và C nằm ở hai phía so với điểm B sao cho MB = $\frac{1}{2}$BC.

Do $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}=4\overrightarrow{NB}$ hay $\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{NB}$.

Do đó A và N nằm cùng phía so với điểm B sao cho NB = $\frac{1}{4}$AB.

Do $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$ nên $\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PA}$ hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{PA}$.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A sao cho PA = $\frac{1}{2}$CA.

Ta có hình vẽ sau:

b) Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}$.

Do $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{BN}\Rightarrow \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NA}=4\overrightarrow{BN}$ hay $\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BN}$.

Do đó $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

Do $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BM}$.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A và PA = $\frac{1}{2}$CA nên P là trung điểm của CA.

Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BP}\Rightarrow \overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Ta thấy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}$.

Do đó M, N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 94 Tập 1

Giải Toán 10 trang 95 Tập 1

Giải Toán 10 trang 96 Tập 1

Giải Toán 10 trang 97 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu