Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB},\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$.

b) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$.

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

Do đó M và C nằm ở hai phía so với điểm B sao cho MB = $\frac{1}{2}$BC.

Do $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}=4\overrightarrow{NB}$ hay $\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{NB}$.

Do đó A và N nằm cùng phía so với điểm B sao cho NB = $\frac{1}{4}$AB.

Do $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$ nên $\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PA}$ hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{PA}$.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A sao cho PA = $\frac{1}{2}$CA.

Ta có hình vẽ sau:

b) Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}$.

Do $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{BN}\Rightarrow \overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NA}=4\overrightarrow{BN}$ hay $\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BN}$.

Do đó $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

Do $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BM}$.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A và PA = $\frac{1}{2}$CA nên P là trung điểm của CA.

Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BP}\Rightarrow \overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Ta thấy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}$.

Do đó M, N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 1 trang 94 Toán lớp 10 Tập 1: Cho vectơ a. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ (vectơ a + vectơ a), (- vectơ a) + (- vectơ a)...

Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ a , b và một điểm M như Hình 3. Hãy vẽ các vectơ: vectơ MN = 3 vectơ a, vectơ MP = -3 vectơ b...

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi...

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ...

Hoạt động khám phá 2 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ a và b cùng phương, vectơ b khác vectơ 0...

Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD...

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý...

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD...

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1:Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho: vectơ MA + 4 vectơ MB = vectơ 0...

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1:Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF...

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h...

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm O sao cho vectơ OA + 3 vectơ OB = vectơ 0...

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Tích của một số với một vectơ