Giải Toán 10 trang 95 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 95 Tập 1

Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a},\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$ .

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: $\left|3\overrightarrow{b}\right|,\left|-3\overrightarrow{b}\right|,\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải:

a) Ta thấy 3 > 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng.

Do đó từ M kẻ đường thẳng d song song với đường thẳng a.

Trên đường thẳng d, về bên phải điểm M chọn điểm N sao cho MN = 6.

Khi đó $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a}$.

Do -3 < 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Do đó từ M kẻ đường thẳng c song song với đường thẳng b.

Trên đường thẳng c, về bên trái điểm M chọn P sao cho MP = 3.

Khi đó $\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$.

Ta có hình vẽ như sau:

b) Ta thấy MP là độ dài cạnh huyền của 1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 3.

Do đó MP = $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.

Ta thấy $3\overrightarrow{b}$ và $-3\overrightarrow{b}$ là hai vectơ đối nên $\left|3\overrightarrow{b}\right|=\left|-3\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{MP}\right|=3\sqrt{2}$.

Ta thấy $\left|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\right|$ là độ cạnh huyền của 1 tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông lần lượt là 1 và 3.

Khi đó $\left|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.

Do đó $\left|2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}\right|=\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=2\sqrt{10}$.

Vậy $\left|3\overrightarrow{b}\right|=\left|-3\overrightarrow{b}\right|=3\sqrt{2}$; $\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=2\sqrt{10}$.

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

Phần thuận: G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Chứng minh:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$ hay $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Phần đảo: Tam giác ABC có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Dựng hình bình hành GBDC và gọi I là giao điểm của GD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{G\text{D}}$.

Mà $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GD}$.

Khi đó $\left|\overrightarrow{GA}\right|=\left|-\overrightarrow{G\text{D}}\right|$ hay GA = GD.

Hình bình hành GBDC có I là giao điểm hai đường chéo GD và BC nên I là trung điểm của BC và I là trung điểm của GD.

Do I là trung điểm của GD nên GI = $\frac{1}{2}$GD = $\frac{1}{2}$GA.

GI = $\frac{1}{2}$GA nên AI = GI + GA = $\frac{1}{2}$GA + GA = $\frac{3}{2}$GA hay AG = $\frac{2}{3}$AI.

Tam giác ABC có AI là đường trung tuyến, lại có AG = $\frac{2}{3}$AI nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của tàu A.

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{b}\right|=50;\left|\overrightarrow{a}\right|=20$.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{5}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vậy $\overrightarrow{b}=\frac{-5}{2}\overrightarrow{a}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 94 Tập 1

Giải Toán 10 trang 95 Tập 1

Giải Toán 10 trang 96 Tập 1

Giải Toán 10 trang 97 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu