Cho sin alpha = căn 15/4 và cos beta = 1/3. Giá trị của biểu thức sin(alpha + beta)sin(alpha ‒ beta)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 32

Câu 8 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ và $\cos \beta =\frac{1}{3}.$ Giá trị của biểu thức sin(α + β)sin(α ‒ β) bằng

A. $\frac{7}{12}.$

B. $\frac{1}{12}.$

C. $\frac{\sqrt{15}}{12}.$

D. $\frac{7}{144}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot {\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=-\frac{7}{8};$

$\cos 2\beta =2{\cos }^2\beta -1=2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2-1=-\frac{7}{9}.$

Khi đó sin(α + β)sin(α ‒ β)

$=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\alpha +\beta -\alpha +\beta \right)-\cos \left(\alpha +\beta +\alpha -\beta \right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\cos \left(2\beta \right)-\cos \left(2\alpha \right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[-\frac{7}{9}-\left(-\frac{7}{8}\right)\right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{72}=\frac{7}{144}.$