Cho sin alpha = 3/4 với pi/2 < alpha < pi. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) sin2.alpha

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 32

Bài 1 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin2α;

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right);$

c) $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right).$

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Ta có sin²α + cos²α = 1, suy ra cos²α = 1 – sin²α

Do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

Ta có: sin2α = 2sinαcosα $=2\cdot \frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)=-\frac{3\sqrt{7}}{8}.$

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$

$=\frac{-\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{1}{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{8}.$

c) $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=-\frac{3}{\sqrt{7}}$

$\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan 2\alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan 2\alpha \tan \frac{\pi }{4}}$

Mà $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{1-{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2}=\frac{2\cdot \frac{-3}{\sqrt{7}}}{1-{\left(\frac{-3}{\sqrt{7}}\right)}^2}=3\sqrt{7}$

Nên $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan 2\alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan 2\alpha \tan \frac{\pi }{4}}$

$=\frac{3\sqrt{7}-1}{1+3\sqrt{7}\cdot 1}=\frac{3\sqrt{7}-1}{3\sqrt{7}+1}=\frac{{\left(3\sqrt{7}-1\right)}^2}{\left(3\sqrt{7}+1\right)\left(3\sqrt{7}-1\right)}$

$=\frac{63-6\sqrt{7}+1}{63-1}=\frac{64-6\sqrt{7}}{62}=\frac{32-3\sqrt{7}}{31}.$