Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có góc BAC = 60 độ, AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện

Lời giải Bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 1,501 08/11/2023


Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

Bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ^BAC=60° , AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện [A', BC, A] bằng 45°.

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Lời giải:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có góc BAC = 60 độ

a) Kẻ AH BC tại H.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên A'A (ABC), suy ra A'A BC mà AH BC nên BC (A'AH).

Kẻ AK A'H tại K, lại có BC AK (do BC (A'AH)) nên AK (A'CB).

Do đó d(A, (A'BC)) = AK.

Có BC (A'AH) nên BC A'H mà AH BC nên góc nhị diện [A', BC, A] bằng AHA' , suy ra AHA'^=45° .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, có

BC2=AB2+AC2- 2.AB.AC.cosBAC^ = 4a2+9a2-2.2a.3a.cos60o = 7a2.

BC = a7.

SABC=AHBC2AH=SABC2BC =ABACsinBAC^BC

=2a.3a.sin60oa7 = 3217a.

Xét tam giác AHK vuông tại K, có AK = AH . sin45° = 321a722=342a14 .

Vậy d(A, (A'BC)) = 342a14 .

b) Vì tam giác A'AH vuông tại A, AHA'^=45° nên tam giác A'AH vuông cân tại A nên AA' = AH = 3217a.

Ta có: VABC.A'B'C'=SABCAA' = 12.AB.AC.sinBAC^.AA'

= 12.2a.3a.sin60o.321a7= 277a314.

1 1,501 08/11/2023


Xem thêm các chương trình khác: