Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO vuông góc với (ABCD), AC = 2a căn 3

Giải SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

Bài 7.37 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO $\perp$ (ABCD), AC = 2a$\sqrt{3}$, BD = 2a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Kẻ OM $\perp$ BC tại M mà BC $\perp$ SO (do SO $\perp$ (ABCD)) nên BC $\perp$ (SOM).

Kẻ OH $\perp$ SM tại H mà OH $\perp$ BC (do BC $\perp$ (SOM)) nên OH $\perp$ (SBC).

Suy ra d(O, (SBC)) = OH.

Do ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, do đó

d(A, (SBC)) = 2 . d(O, (SBC)) = 2 . OH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra OH = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Vì ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, BD nên OB = $\frac{BD}{2}$ = a;

OC = $\frac{AC}{2}$ = a$\sqrt{3}$.

Do ABCD là hình thoi nên AC $\perp$ BD.

Xét tam giác OBC vuông tại O, OM là đường cao: ta có $\frac{1}{O{M}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$

$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}$$\Rightarrow OM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ OM.

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao, ta có $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{M}^2}$

$\iff \frac{16}{3a^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{4}{3a^2}$$\iff \frac{1}{S{O}^2}=\frac{16}{3a^2}-\frac{4}{3a^2}=\frac{4}{a^2}$$\Rightarrow SO=\frac{a}{2}$.

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}$.AC.BD.SO = $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2a\sqrt{3}\cdot 2a\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.