Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

1 2,198 29/10/2024


Giải SBT Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho (OA, OM) = 40°. Gọi M' đối xứng với M qua gốc toạ độ. Khi đó số đo của góc lượng giác (OA, OM') bằng:

A. 40°+ k360°.

B. 140°+ k360°.

C. 220°+ k360°.

D. 50° + k360°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

 Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác

Vì M, M' đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nên M, O, M' thẳng hàng.

Ta có:

(OA, OM') = (OA, OM) + (OM, OM') + k360°

= 40° + 180° + k360° = 220° + k360°.

Bài 2 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cosα=25 với π2<α<π . Khi đó, tan α bằng:

A. 215 .

B. 212 .

C. 212 .

D. 215 .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

π2<α<π nên tan α < 0.

Do đó, từ 1+tan2α=1cos2α , ta suy ra

tanα=1cos2α1=12521=212.

Bài 3 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan α + cot α = 2. Khi đó, tan2 α + cot2 α bằng:

A. 8.

B. 4.

C. 16.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có tan α + cot α = 2

Suy ra (tan α + cot α)2 = 22 = 4.

Mà (tan α + cot α)2 = tan2 α + 2tan α . cot α + cot2 α

= tan2 α + 2 . 1 + cot2 α = tan2 α + cot2 α + 2 = 4.

Do đó, tan2 α + cot2 α = 4 – 2 = 2.

Bài 4 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Kết quả thu gọn của biểu thức

A=sinπ+x+cosπ2x+cot2πx+tan3π2+x là:

A. – 2cot x.

B. 2tan x.

C. 2sin x.

D. – 2sin x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

A=sinπ+x+cosπ2x+cot2πx+tan3π2+x

=sinx+sinx+cotπ+πx+tanπ+π2+x

=cotπx+tanπ2+x

=cotx+tanπ+xπ2

 Kết quả thu gọn của biểu thức A = sin (π + x) + cos(π/2 - x) + cot(2π - x) + tan(3π/2 + x)

=cotxtanπ2x

=cotxcotx=2cotx

Bài 5 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan α = 2. Khi đó giá trị của biểu thức A=sin2α2sinα.cosαcos2α+3sin2α bằng:

A. 4.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0, hay cos2 α ≠ 0, do đó chia cả tử và mẫu của A cho cos2 α ta được:

A=sin2αcos2α2sinα.cosαcos2αcos2αcos2α+3sin2αcos2α=tan2α2tanα1+3tan2α=222.21+3.22=0.

Bài 6 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ A đến các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Tính số đo của các góc lượng giác (OA, OB), (OA, OC), (OA, OD), (OA, OE), (OA, OF).

Lời giải:

 Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác

Vì ABCDEF là lục giác đều nên

AOB^=BOC^=COD^=DOE^=EOF^=FOA^=360°6=60°=π3.

Khi đó, ta có:

OA,OB=π3+k2π;

OA,OC=π3+π3+k2π=2π3+k2π;

OA,OD=π+k2π;

OA,OE=π3π3+k2π=2π3+k2π;

OA,OF=π3+k2π.

Bài 7 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sinα=13 với απ2;π . Tính cos α, tanα, cot α.

Lời giải:

απ2;π nên cos α < 0.

Do đó từ sin2 α + cos2 α = 1, suy ra

cosα=1sin2α=1132=223.

Khi đó, tanα=sinαcosα=13223=122=24 ;

cotα=1tanα=124=22.

Bài 8 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cot x = – 3, π2<x<π . Tính sin x, cos x, tan x.

Lời giải:

Ta có: tanx=1cotx=13=13 .

Áp dụng công thức 1+cot2x=1sin2x , ta được sin2x=11+cot2x=11+32=110.

π2<x<π nên sin x > 0. Suy ra sinx=1010 .

Khi đó từ cotx=cosxsinx , suy ra cos x = cot x . sin x = 3.1010=31010 .

Bài 9 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin4 x + cos4 x = 1 − 2sin2 x cos2 x;

b) sin6 x + cos6 x = 1 – 3sin2 x cos2 x.

Lời giải:

a) VT = sin4 x + cos4 x

= (sin2 x)2 + (cos2 x)2 + 2sin2 x . cos2 x – 2sin2 x . cos2 x

= (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x . cos2 x

= 12 – 2sin2 x . cos2 x = 1 – 2sin2 x . cos2 x = VP (đpcm).

b) VT = sin6 x + cos6 x

= (sin2 x)3 + (cos2 x)3

= (sin2 x + cos2 x)3 – 3sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)

= 13 – 3sin2 x cos2 x . 1

= 1 – 3sin2 x cos2 x (đpcm).

Bài 10 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan x = − 2. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) A=3sinx5cosx4sinx+cosx ;

b) B=2sin2x3sinxcosxcos2xsin2x+sinxcosx .

Lời giải:

a) Vì tan x xác định nên cos x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của A cho cos x ta được:

A=3sinx5cosx4sinx+cosx=3tanx54tanx+1=3.254.2+1=117.

b) Vì tan x xác định nên cos2 x khác 0. Chia cả tử và mẫu của B cho cos2 x ta được:

B=2sin2x3sinxcosxcos2xsin2x+sinxcosx=2tan2x3tanx1tan2x+tanx=2.223.2122+2=132.

Bài 11 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính:

a) A = cos2π8+cos23π8+cos25π8+cos27π8 ;

b) B = sinπ5+sin2π5+...+sin9π5 (gồm 9 số hạng);

c) C = tan 1° . tan 2° . tan 3°. ... . tan 89° (gồm 89 thừa số).

Lời giải:

a) Do cos7π8=cosππ8=cosπ8=cosπ8 ;

cos5π8=cosπ3π8=cos3π8=cos3π8.

Nên A = cos2π8+cos23π8+cos25π8+cos27π8

= cos2π8+cos23π8+cos3π82+cosπ82

=2cos2π8+cos23π8

 Bài 11 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1

=2cos2π8+sin2π8=2.1=2.

b) Nhận thấy sin9π5=sinπ5+2π=sinπ5=sinπ5 nên sinπ5+sin9π5=0 .

Tương tự ta có: sin2π5+sin8π5=0,  sin3π5+sin7π5=0,  sin4π5+sin6π5=0 .

Suy ra B = sinπ5+sin2π5+...+sin9π5

Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (ảnh 1)

=0+sinπ=0.

c) C = tan 1° . tan 2° . tan 3°. ... . tan 89°

= (tan 1° . tan 89°) . (tan 2° . tan 88°) . ... . (tan 44° . tan 46°) . tan 45°

= [tan 1° . cot(90° – 89°)] . [tan 2° . cot(90° – 88°)] . ... . [tan44° . cot(90° – 46°)] . tan 45°

= (tan 1° . cot 1°) . (tan 2° . cot 2°) . ... . (tan 44° . cot 44°) . tan 45°

= 1 . 1 . ... . 1 . 1

= 1.

Bài 12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

a) sin B = sin(A + C);

b) cosC = – cos(A + B + 2C);

c) sinA2=cosB+C2 ;

d) tanA+B2C2=cot3C2 .

Lời giải:

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.

a) Do A + C = π – B nên sin(A + C) = sin(π – B) = sin B.

Vậy sin B = sin(A + C).

b) Do A + B + 2C = A + B + C + C = π + C

Nên cos(A + B + 2C) = cos(π + C) = – cos C.

Suy ra cosC = – cos(A + B + 2C).

c) Ta có: A+B+C2=π2 , suy ra B+C2=π2A2 .

Nên sinA2=cosB+C2 .

d) Ta có: A+B2C2=A+B+C3C2=π3C2=π23C2 .

Suy ra tanA+B2C2=cot3C2 .

Bài 13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin α + cos α = 13 với π2<α<0 . Tính:

a) A = sinα . cos α;

b) B = sin α – cos α;

c) C = sin³ α + cos³ α;

d) D = sin4 α + cos4 α.

Lời giải:

a) Do sin α + cos α = 13 nên (sin α + cos α)2 = 132=19 .

Mà (sin α + cos α)2 = sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = 1 + 2 sin α cos α.

Do đó, 1 + 2 sin α cos α = 19 , suy ra A = sinα . cos α = 1912=49 .

b) Ta có: B2 = (sin α – cos α)2 = 1 – 2 sin α cos α = 12.49=1+89=179 .

Do π2<α<0 nên sin α < 0 và cos α > 0. Do đó sin α – cos α < 0.

Vậy B = 173 .

c) Ta có:

C = sin³ α + cos³ α = (sin α + cos α)3 – 3 sin α cos α(sin α + cos α)

=1333.49.13=1327.

d) Ta có:

D = sin4 α + cos4 α = 1 – 2sin2 α cos2 α (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin α cos α)2 = 12.492=4981 .

Bài 14 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Một vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút. Tại vị trí quan sát, bạn Linh thấy vòng quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Khi vòng quay chuyển động được 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).

Lời giải:

Do vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút và chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau 15 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng – 2π (rad).

Do đó, sau 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng 2π15.10=4π3 (rad).

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

I. Góc lượng giác

1. Góc hình học và số đo của chúng

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: 180o=πrad, do đó 1 rad =(180π)o, 1o=(π180)rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: π2rad cũng được viết là π2.

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau (OuOu), tia cuối trùng nhau (OvOv).

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

(Ou,Ov)=(Ou,Ov)+k360o,kZ.

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

(Ou,Ov)=(Ou,Ov)+k2π,kZ.

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) +k2π,kZ.

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 2)

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

x=cosα, y=sinα.

tanα=sinαcosα=yx(x0)

cotα=cosαsinα=xy(y0)

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc α

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 3)

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 4)

* Các công thức lượng giác cơ bản

sin2α+cos2α=11+tan2α=1cos2α(απ2+kπ,kZ)1+cot2α=1sin2α(αkπ,kZ)tanα.cotα=1(αkπ2,kZ)

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

  • Hai góc đối nhau αα

sin(α)=sinαcos(α)=cosαtan(α)=tanαcot(α)=cotα

  • Hai góc bù nhau (απ-α)

sin(πα)=sinαcos(πα)=cosαtan(πα)=tanαcot(πα)=cotα

  • Hai góc phụ nhau (απ2-α)

sin(π2α)=cosαcos(π2α)=sinαtan(π2α)=cotαcot(π2α)=tanα

  • Hai góc hơn kém π(απ + α)

sin(π+α)=sinαcos(π+α)=cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị của một góc lượng giác

Đơn vị độ:

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 5)

Đơn vị radian:

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 6)

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

1 2,198 29/10/2024


Xem thêm các chương trình khác: