Tính: a) A = cos^2 pi/8 + cos^2 3pi/8 + cos^2 5pi/8 + cos^2 7pi/8

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 11 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính:

a) A = ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}+{\cos }^2\frac{5\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8}$ ;

b) B = $\sin \frac{\pi }{5}+\sin \frac{2\pi }{5}+\mathrm{...}+\sin \frac{9\pi }{5}$  (gồm 9 số hạng);

c) C = tan 1° . tan 2° . tan 3°. ... . tan 89° (gồm 89 thừa số).

Lời giải:

a) Do $\cos \frac{7\pi }{8}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{8}\right)=-\cos \left(-\frac{\pi }{8}\right)=-\cos \frac{\pi }{8}$ ;

$\cos \frac{5\pi }{8}=\cos \left(\pi -\frac{3\pi }{8}\right)=-\cos \left(-\frac{3\pi }{8}\right)=-\cos \frac{3\pi }{8}$.

Nên A = ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}+{\cos }^2\frac{5\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8}$

= ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}+{\left(-\cos \frac{3\pi }{8}\right)}^2+{\left(-\cos \frac{\pi }{8}\right)}^2$

$=2\left({\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}\right)$

$=2\left({\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}\right)=2.1=2$.

b) Nhận thấy $\sin \frac{9\pi }{5}=\sin \left(-\frac{\pi }{5}+2\pi \right)=\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)=-\sin \frac{\pi }{5}$  nên $\sin \frac{\pi }{5}+\sin \frac{9\pi }{5}=0$ .

Tương tự ta có: $\sin \frac{2\pi }{5}+\sin \frac{8\pi }{5}=\mathrm{0,}\sin \frac{3\pi }{5}+\sin \frac{7\pi }{5}=\mathrm{0,}\sin \frac{4\pi }{5}+\sin \frac{6\pi }{5}=0$ .

Suy ra B = $\sin \frac{\pi }{5}+\sin \frac{2\pi }{5}+\mathrm{...}+\sin \frac{9\pi }{5}$

$=0+\sin \pi =0$.

c) C = tan 1° . tan 2° . tan 3°. ... . tan 89°

= (tan 1° . tan 89°) . (tan 2° . tan 88°) . ... . (tan 44° . tan 46°) . tan 45°

= [tan 1° . cot(90° – 89°)] . [tan 2° . cot(90° – 88°)] . ... . [tan44° . cot(90° – 46°)] . tan 45°

= (tan 1° . cot 1°) . (tan 2° . cot 2°) . ... . (tan 44° . cot 44°) . tan 45°

= 1 . 1 . ... . 1 . 1

= 1.