Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Giới hạn của dãy số

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

1 753 29/10/2024


Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim12n=0 .

B. lim32n=0 .

C. lim12n=0 .

D. lim32n=0 .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì limqn = 0 với |q| < 1 nên ta có:

lim12n=lim12n=0 do Phát biểu nào sau đây là sai trang 68 SBT Toán 11 ;

lim12n=lim12n=0 doPhát biểu nào sau đây là sai trang 68 SBT Toán 11 ;

lim32n=0 do Phát biểu nào sau đây là sai trang 68 SBT Toán 11 .

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Phát biểu nào sau đây là sai trang 68 SBT Toán 11 nên lim32n0 , do đó đáp án B sai.

Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limun = a, lim vn = b. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim(un + vn) = a + b.

B. lim(un – vn) = a – b.

C. lim(un . vn) = a . b.

D. limunvn=abb.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.

Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu limun = C và limvn = +∞ (hoặc limvn = −∞) thì limunvn bằng:

A. 0.

B. –∞.

C. +∞.

D. –∞ hoặc +∞.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu limun = C và limvn = +∞ (hoặc limvn = −∞) thì limunvn=0 .

Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C > 0 thì lim unvn = +∞.

B. Nếu limun = −∞ và limv­n = C, C < 0 thì lim unvn = +∞.

C. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C < 0 thì lim unvn= 0.

D. Nếu limun = –∞ và limvn = C, C > 0 thì limunvn= .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limun = +∞ và limvn = C, C < 0 thì limunvn = –∞ nên đáp án C sai.

Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu limun = a thì limun=a .

B. Nếu limun = a thì a ≥ 0 và limun=a .

C. Nếu limun = a thì a ≥ 0.

D. Nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và limun=a .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và limun=a .

Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng lim1nn2=0 .

Lời giải:

Xét dãy số (un) có un=1nn2.

Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: Chứng minh rằng  lim (-1)^n / n^2 = 0

Do đó, Chứng minh rằng  lim (-1)^n / n^2 = 0.

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn 1h thì |u­n| < h.

Suy ra lim1nn2=0 .

Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un), (vn) với un=34n+1 , vn=853n2+2 . Tính:

a) limun, limvn;

b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un . vn), limunvn .

Lời giải:

a) Ta có

limun=lim34n+1=lim3lim4n+1=30=3;

limvn=lim853n2+2=lim8lim53n2+2=80=8.

b) Ta có

lim(un + vn) = limun + limvn = 3 + 8 = 11;

lim(un – vn) = limun – limvn = 3 – 8 = – 5;

lim(un . vn) = limun . limvn = 3 . 8 = 24;

limunvn=limunlimvn=38.

Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim4n+23 ;

b) lim3n+45+2n ;

c) lim3+1n+15n ;

d) lim654n .

Lời giải:

a) Vì lim(4n + 2) =Tính các giới hạn sau trang 68 SBT Toán 11 = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.

Do đó, lim4n+23=+.

b) Vì lim(3n + 4) Tính các giới hạn sau trang 68 SBT Toán 11 = lim (n . 3) = +∞

lim5+2n=lim5+lim2n=5 < 0.

Do đó, lim3n+45+2n= .

c) Vì lim3+1n+1=lim3+lim1n+1=3 và lim5n = +∞.

Nên lim3+1n+15n=0 .

d) lim654n=lim6lim54n=6lim5.14n

=65lim14n=65.0=6.

Bài 9 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim6n53n ;

b) lim2n26n+28n25n+4 ;

c) limn35n+13n24n+2 ;

d) lim4n+19n2n+2 ;

e) lim4n2+n+18n+3 ;

g) lim4n+5n3.4n4.5n .

Lời giải:

a) lim6n53n=limn65n3n=lim65n3=lim65nlim3=63=2 .

b) lim2n26n+28n25n+4 =limn226n+2n2n285n+4n2

=lim26n+2n285n+4n2=lim26n+2n2lim85n+4n2=28=14.

c) limn35n+13n24n+2=limn315n2+1n3n33n4n2+2n3=lim15n2+1n33n4n2+2n3

=lim15n2+1n3lim3n4n2+2n3=+ (do lim15n2+1n3=1lim3n4n2+2n3=0 ).

d) lim4n+19n2n+2=limn24n+1n2n291n+2n2 =lim4n+1n291n+2n2

=lim4n+1n2lim91n+2n2=09=0 .

e) lim4n2+n+18n+3 =limn24+1n+1n2n8+3n =lim4+1n+1n28+3n

=lim4+1n+1n2lim8+3n=lim4+1n+1n2lim8+3n=48=28=14.

g) lim4n+5n3.4n4.5n=lim5n4n5n+15n3.4n5n4=lim45n+13.45n4

 s

Bài 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­n) với u1=54,q=13 .

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.

Lời giải:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­n) với u1=54,q=13 là:

S=u11q=54113=1516.

b) Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 0,3 và công bội q=110 < 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... =0,31110=13 .

Vậy 2,(3) = 2 + 13=73 .

Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng 14 độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h­n là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (hn).

b) Tính giới hạn của dãy số (hn) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (hn).

c) Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính Sn, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có, hn=14hn1 nên (hn) là một cấp số nhân với h1 = 14.100=25 và công bội q=14 .

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (hn): hn=u1qn1=25.14n1=1004n .

b) Ta có: limhn = lim1004n=lim100.14n=lim100.lim14n=100.0=0 .

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

c) Ta có: Sn=100+21004+10042+10043+...+1004n .

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: limSn=100+21004+10042+10043+...+1004n+... .

1004;10042;10043;...;1004n;... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1004 và công bội q=14<1 nên ta có limSn=100+2.1004114=5003 .

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là 5003 m.

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu limn+un=0 hay un0 khi n+ hay limun=0.

- Dãy số (un)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn+(una)=0, kí hiệu limn+un=ahay una khi n+hay limun=a.

* Chú ý: Nếu un=c (c là hằng số) thì limn+un=c

2. Một số giới hạn cơ bản

+ lim1n=0,lim1nk=0,kZ.

+ limcn=0,limcnk=0,kZ, c là hằng số.

+ Nếu |q|<1 thì limqn=0

+ lim(1+1n)n=e

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu limn+un=a,limn+vn=b thì

limn+(un±vn)=a±b

limn+(un.vn)=a.b

limn+(unvn)=ab(b0)

b, Nếu un0 thì với mọi n và limn+un=a thì a0limn+un=a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn u1,u1q,...,u1qn1,... có công bội q thỏa mãn |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

S=u11q(|q|<1)

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +khi n+ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx+un=+ hay un+ khi n+.

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn khi n+ nếu limx+(un)=+, kí hiệu limx+un= hay un khi n+.

*Nhận xét:

  • limnk=+,kZ+limqn=+;qR,q>1.
  • Nếu limx+un=alimx+vn=+(hoặclimx+vn=) thì limn+(unvn)=0.
  • Nếu limx+un=a>0limx+vn=0,n thì limn+(unvn)=+.
  • limn+(unvn)=+.
  • Nếu limx+un=+limn+(un)=
Lý thuyết Giới hạn của dãy số – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

1 753 29/10/2024


Xem thêm các chương trình khác: