Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Giới hạn của hàm số

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 2.

1 768 29/10/2024

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Giả sử $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $\lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Với $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $\lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{L}{M}$ (L, M ∈ ℝ) thì (nếu M ≠ 0).

Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.

Bài 13 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n< b và x_n → L, ta có f(x_n) → x₀ thì $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b), nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

Bài 14 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì

A. $\lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = 0$ .

B. $\lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = + \infty$ .

C. $\lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = - \infty$ .

D. $\lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = + \infty$ hoặc $\lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = - \infty$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có $\lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = 0$ .

Bài 15 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $\lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

B. Nếu $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì L ≥ 0.

c. Nếu f(x) ≥ 0 và $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì L ≥ 0 và $\lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

D. Nếu $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì L ≥ 0 và $\lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x) ≥ 0 và $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì L ≥ 0 và $\lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

Bài 16 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n→ +∞, ta có f(x_n) → L thì $\lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ .

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì $\lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ .

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a, ta có f(x_n) → L thì $\lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ .

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n→ L, ta có f(x_n) →+∞ thì $\lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n→ +∞, ta có f(x_n) → L thì $\lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ .

Bài 17 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

a) $\lim_{x \to - 2} x^{3} = - 8$ .

b) $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = - 4$ .

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = x³. Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn limx_n = – 2.

Ta có limf(x_n) = $\lim x_{n}^{3} = {(- 2)}^{3} = - 8$ .

Vậy $\lim_{x \to - 2} x^{3} = - 8$ .

b) Xét hàm số $g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ .

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn x_n ≠ – 2 và lim x_n = – 2.

Ta có $\lim g (x_{n}) = \lim \frac{x_{n}^{2} - 4}{x_{n} + 2} = \lim \frac{(x_{n} - 2) (x_{n} + 2)}{x_{n} + 2} = \lim (x_{n} - 2) = - 4$ .

Vậy $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = - 4$ .

Bài 18 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\lim_{x \to 3} f (x) = 4$ , chứng minh rằng:

a) $\lim_{x \to 3} 3 f (x) = 12$ ;

b) $\lim_{x \to 3} \frac{f (x)}{4} = 1$ ;

c) $\lim_{x \to 3} \sqrt{f (x)} = 2$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to 3} 3 f (x) = \lim_{x \to 3} 3. \lim_{x \to 3} f (x) = 3.4 = 12$ .

b) $\lim_{x \to 3} \frac{f (x)}{4} = \frac{\lim_{x \to 3} f (x)}{\lim_{x \to 3} 4} = \frac{4}{4} = 1$ .

c) $\lim_{x \to 3} \sqrt{f (x)} = \sqrt{\lim_{x \to 3} f (x)} = \sqrt{4} = 2$ .

Bài 19 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: $\lim_{x \to + \infty} f (x); \lim_{x \to - \infty} f (x); \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} f (x); \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} f (x)$ .

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$ ;

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = 1$ ;

$\lim_{x \to {(- 2)}^{+}} f (x) = - \infty$ ;

$\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} f (x) = + \infty$ .

Bài 20 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 1} (- 4 x^{2} + 3 x + 1)$ ; b) $\lim_{x \to - 1} \frac{- 4 x + 1}{x^{2} - x + 3}$ ;

c) $\lim_{x \to 2} \sqrt{3 x^{2} + 5 x + 4}$ ; d) $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{2 x^{2} + 3}$ ;

e) $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3}{x - 2}$ ; g) $\lim_{x \to - 2^{+}} \frac{5}{x + 2}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to - 1} (- 4 x^{2} + 3 x + 1)$ $= \lim_{x \to - 1} (- 4 x^{2}) + \lim_{x \to - 1} (3 x) + \lim_{x \to - 1} 1$ = – 4 – 3 + 1 = – 6.

b) $\lim_{x \to - 1} \frac{- 4 x + 1}{x^{2} - x + 3}$ $= \frac{\lim_{x \to - 1} (- 4 x + 1)}{\lim_{x \to - 1} (x^{2} - x + 3)}$ $= \frac{\lim_{x \to - 1} (- 4 x) + \lim_{x \to - 1} 1}{\lim_{x \to - 1} x^{2} - \lim_{x \to - 1} x + \lim_{x \to - 1} 3} = \frac{4 + 1}{1 - (- 1) + 3} = \frac{5}{5} = 1$ .

c) Vì $\lim_{x \to 2} (3 x^{2} + 5 x + 4)$ $= \lim_{x \to 2} (3 x^{2}) + \lim_{x \to 2} (5 x) + \lim_{x \to 2} 4 =$ ${3.2}^{2} + 5.2 + 4 = 26$ .

Do đó, $\lim_{x \to 2} \sqrt{3 x^{2} + 5 x + 4}$ $= \sqrt{26}$ .

d) Vì $\lim_{x \to - \infty} (- 3 + \frac{4}{x}) = \lim_{x \to - \infty} (- 3) + \lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} = - 3 + 0 = - 3$

và Tính các giới hạn sau trang 76 SBT Toán 11 .

Do đó, $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{4}{x}}{2 x^{2} + 3} = 0$ .

e) Vì $\lim_{x \to 2^{+}} (- 3) = - 3 < 0$ ; $\lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) = 0$ và x – 2 > 0 với mọi x > 2.

Do đó, $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3}{x - 2} = - \infty$ .

g) Vì $\lim_{x \to - 2^{+}} 5 = 5 > 0$ ; $\lim_{x \to - 2^{+}} (x + 2) = 0$ và x + 2 > 0 với mọi x > – 2.

Do đó, $\lim_{x \to - 2^{+}} \frac{5}{x + 2} = + \infty$ .

Bài 21 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 5 x + 2}{3 x + 1}$ ; b) $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x + 3}{3 x^{2} + 2 x + 5}$ ;

c) $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 3}}{x + 1}$ ; d) $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 3}}{x + 1}$ ;

e) $\lim_{x \to 1} \frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{x^{2} - 1}$ ; g) $\lim_{x \to - 3} \frac{- x^{2} + 2 x + 15}{x^{2} + 4 x + 3}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 5 x + 2}{3 x + 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 5 + \frac{2}{x}}{3 + \frac{1}{x}} = \frac{- 5}{3}$ .

b) $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x + 3}{3 x^{2} + 2 x + 5}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{3 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} = \frac{0}{3} = 0$ .

c) Tính các giới hạn sau trang 76 SBT Toán 11

d) Tính các giới hạn sau trang 76 SBT Toán 11

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{(- x) . \sqrt{9 + \frac{3}{x^{2}}}}{x (1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{3}{x^{2}}}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{- \sqrt{9}}{1} = - 3$ .

e) $\lim_{x \to 1} \frac{2 x^{2} - 8 x + 6}{x^{2} - 1}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{(2 x - 6) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2 x - 6}{x + 1} = - 2$ .

g) $\lim_{x \to - 3} \frac{- x^{2} + 2 x + 15}{x^{2} + 4 x + 3}$ $= \lim_{x \to - 3} \frac{(5 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \lim_{x \to - 3} \frac{5 - x}{x + 1} = - 4$ .

Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 4}{x - 1} = 2$ . Tính:

a) $\lim_{x \to 1} f (x)$ ;

b) $\lim_{x \to 1} 3 f (x)$ .

Lời giải:

Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 4}{x - 1} = 2$ .

Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1

b) Ta có $\lim_{x \to 1} 3 f (x)$ $= \lim_{x \to 1} 3. \lim_{x \to 1} f (x) = 3.4 = 12$ .

Bài 23 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) thoả mãn $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2 022$ . Tính $\lim_{x \to + \infty} \frac{x f (x)}{x + 1}$ .

Lời giải:

Ta có $\lim_{x \to + \infty} \frac{x f (x)}{x + 1}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{\lim_{x \to + \infty} f (x)}{\lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{x})}$

$= \frac{\lim_{x \to + \infty} f (x)}{\lim_{x \to + \infty} 1 + \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}} = \frac{2022}{1 + 0} = 2022$ .

Vậy $\lim_{x \to + \infty} \frac{x f (x)}{x + 1} = 2022$ .

Bài 24 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn $\lim_{x \to a} f (x) = - \infty$ . Chứng minh rằng:

$\lim_{x \to a} \frac{f (x) - 3}{2 f (x) + 1} = \frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Ta có $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - 3}{2 f (x) + 1}$ $= \lim_{x \to a} \frac{1 - \frac{3}{f (x)}}{2 + \frac{1}{f (x)}} = \frac{\lim_{x \to a} (1 - \frac{3}{f (x)})}{\lim_{x \to a} (2 + \frac{1}{f (x)})}$

$= \frac{\lim_{x \to a} 1 - \lim_{x \to a} \frac{3}{f (x)}}{\lim_{x \to a} 2 + \lim_{x \to a} \frac{1}{f (x)}} = \frac{\lim_{x \to a} 1 - \frac{\lim_{x \to a} 3}{\lim_{x \to a} f (x)}}{\lim_{x \to a} 2 + \frac{\lim_{x \to a} 1}{\lim_{x \to a} f (x)}}$ $= \frac{1 - 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - 3}{2 f (x) + 1} = \frac{1}{2}$ .

Bài 25 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t² – t³ (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t₁, t₂ là $V_{t b} = \frac{g (t_{2}) - g (t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$ . Tính $\lim_{t \to 10} \frac{g (t) - g (10)}{t - 10}$ và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

Lời giải:

Ta có g(10) = 45 . 10² – 10³.

Khi đó $\lim_{t \to 10} \frac{g (t) - g (10)}{t - 10}$ $= \lim_{t \to 10} \frac{45 t^{2} - t^{3} - {45.10}^{2} - 10^{3}}{t - 10}$

$= \lim_{t \to 10} \frac{(45 t^{2} - {45.10}^{2}) - (t^{3} - 10^{3})}{t - 10}$

$= \lim_{t \to 10} \frac{45 (t - 10) (t + 10) - (t - 10) (t^{2} + 10 t + 100)}{t - 10}$

$= \lim_{t \to 10} \frac{(t - 10) (45 (t + 10) - (t^{2} + 10 t + 100))}{t - 10}$

$= \lim_{t \to 10} (- t^{2} + 35 t + 350) = 600$ .

Vậy $\lim_{t \to 10} \frac{g (t) - g (10)}{t - 10}$ = 600.

Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm $x_{0}$ và hàm số $f (x)$ xác định trên K hoặc trên $K ∖ {x_{0}}$ . Hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \in K ∖ {x_{0}}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$

Kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ , khi $x_{n} \to x_{0}$ .

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ $(L, M \in R)$ thì

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) . g (x)] = L . M$

$lim_{x \to x_{0}} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{L}{M} (M \neq 0)$

b, Nếu $f (x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ và $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

3. Giới hạn một phía

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số $y = f (x)$ khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = L$ .

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ . Số L là giới hạn bên của hàm số $y = f (x)$ khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

*Nhận xét: $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to + \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to + \infty$ .

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(- \infty; b)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to - \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì $x_{n} < b$ và $x_{n} \to - \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to - \infty$ .

* Nhận xét:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$lim_{x \to + \infty} c = c$ , $lim_{x \to - \infty} c = c$ , $lim_{x \to + \infty} (\frac{c}{x^{k}}) = 0, lim_{x \to - \infty} (\frac{c}{x^{k}}) = 0$ .

III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $+ \infty$ khi $x \to a^{+}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} > a$ và $x_{n} \to a$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ .

Kí hiệu $lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty$ hay $f (x) \to + \infty$ khi $x \to a^{+}$

- Các giới hạn $lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty, lim_{x \to a^{-}} f (x) = + \infty, lim_{x \to a^{-}} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.

IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $+ \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên trái nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

Kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ hay $f (x) \to + \infty$ khi $x \to + \infty$ .

- Các giới hạn $lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty, lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty, lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

$lim_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty, k \in Z^{+} .$
$lim_{x \to - \infty} x^{k} = + \infty,$ k là số nguyên dương chẵn.
$lim_{x \to - \infty} x^{k} = - \infty,$ k là số nguyên dương lẻ.

Lý thuyết Giới hạn của hàm số – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

1 768 29/10/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3