Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Hai đường thẳng vuông góc

    Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

    1 635 29/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

    Bài 1 trang 88 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều và ABB’A’ là hình chữ nhật. Gọi M là trung điểm của BC (Hình 4).

    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều và ABB’A’ là hình chữ nhật

    a) Số đo giữa hai đường thẳng AB và B’C’ bằng:

    A. 30°;

    B. 45°;

    C. 60°;

    D. 90°.

    b) Số đo giữa hai đường thẳng AB và CC’ bằng:

    A. 30°;

    B. 45°;

    C. 60°;

    D. 90°.

    c) Số đo giữa hai đường thẳng AM và A’C’ bằng:

    A. 30°;

    B. 45°;

    C. 60°;

    D. 90°.

    Lời giải:

    a) Đáp án đúng là: C

    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều và ABB’A’ là hình chữ nhật

    Do tam giác ABC đều nên ABC^=60°.

    Ta có: BC // B’C’ nên AB,B'C'=AB,BC=ABC^=60°.

    b) Đáp án đúng là: D

    Do ABB’A là hình chữ nhật nên ABB'^=90°.

    Ta có: BB’ // CC’ nên AB,CC'=AB,BB'=ABB'^=90°.

    c) Đáp án đúng là: A

    Do tam giác ABC đều, AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường phân giác của BAC^.

    Suy ra: MAC^=12BCA^=30°.

    Ta có: AC // A’C’ nên AM,A'C'=AM,AC=MAC^=30°.

    Bài 2 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Hình 5 gợi nên hình ảnh một số cặp đường thẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau.

    Hình 5 gợi nên hình ảnh một số cặp đường thẳng vuông góc với nhau

    Lời giải:

    Ba cặp đường thẳng vuông góc với nhau có thể là: a và b, b và c, c và d.

    Bài 3 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông.

    a) Chứng minh rằng AB ⊥ A’D’ và AC ⊥ B’D’.

    b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A’B’.

    Lời giải:

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông

    a) ⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên A’D’ // AD (tính chất hình hộp).

    Mà AB ⊥ AD (vì ABCD là hình vuông)

    Từ đó, suy ra AB ⊥ A’D’.

    ⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên ta có BB’ // DD’ và BB’ = DD’.

    Suy ra B’D’DB là hình bình hành nên ta có B’D’ // BD.

    Mà AC ⊥ BD (vì ABCD là hình vuông)

    Từ đó, suy ra AC ⊥ B’D’.

    b) Xét hình vuông ABCD có: CAB^=12DAB^=45°.

    Mà AB // A’B’ nên AC,A'B'=AC,AB=CAB^=45°.

    Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và A’B’ bằng 45°.

    Bài 4 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ MNPQ.M’N’P’Q’ có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng M’N ⊥ P’Q.

    Lời giải:

    Cho hình lăng trụ MNPQ.M’N’P’Q’ có tất cả các cạnh bằng nhau

    Do MNPQ.M’N’P’Q’ là hình lăng trụ có tất cả các cạnh bằng nhau nên PQ = QQ’ = P’Q’ = PP’. Suy ra PQQ’P’ là hình thoi nên có: P’Q ⊥ PQ’. (1)

    Tương tự: ta cũng có M’Q’QM và MQPN là hai hình thoi.

    Suy ra:

    ⦁ NP // MQ mà MQ // M’Q’ nên NP // M’Q’.

    ⦁ NP = MQ mà MQ = M’Q’ nên NP = M’Q’.

    Từ đó, ta có: NPQ’M’ là hình bình hành, suy ra M’N // PQ’. (2)

    Từ (1), (2) ta có: M’N ⊥ P’Q.

    Bài 5 trang 89 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC, biết MN=a3và AD = BC = 2a.

    Lời giải:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

    Gọi O là trung điểm AC.

    Do O, M lần lượt là trung điểm AC và AB nên OM là đường trung bình của tam giác ABC.

    ⇒OM=12BC=a và OM // BC.

    Tương tự ta có: ON là đường trung bình của tam giác ACD.

    ⇒ON=12AD=a và ON // AD.

    Khi đó: (AD, BC) = (ON, OM).

    Xét tam giác MON, theo hệ quả định lí Cosin ta có:

    cosMON^=OM2+ON2−MN22OM.ON=a2+a2−a322a.a=−12.

    Nên MON^=120°.

    Suy ra: AD,BC=ON,OM=180°−MON^=180°−120°=60°.

    Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và BC là 60°.

    Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

    1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

    Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b, kí hiệu (a, b) hoặc (a,b)^.

    Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Nhận xét:

    - Góc giữa hai đường thẳng a, b không phụ thuộc vào vị trí điểm O. Thông thường, khi tìm góc giữa hai đường thẳng a, b, ta chọn O thuộc a hoặc O thuộc b.

    - Góc giữa hai đường thẳng a, b bằng góc giữa hai đường thẳng b, a, tức là (a, b) = (b, a).

    - Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.

    - Nếu a // b thì (a, c) = (b, c) với mọi đường thẳng c trong không gian.

    2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

    Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

    Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta kí hiệu a⊥b.

    Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

    Sơ đồ tư duy Hai đường thẳng vuông góc

    Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 2)

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 5: Khoảng cách

    Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 635 29/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: