Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 34 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Tập xác định của hàm số y = 0,2^{x – 1} là:

A. ℝ \ {1};

B. ℝ;

C. (1; +∞);

D. (0; +∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số mũ y = a^x (a > 0, a ≠ 1) là ℝ.

Ta thấy: a = 0,2 > 0 và a = 0,2 ≠ 1 nên tập xác định của hàm số y = 0,2^{x – 1} là ℝ.

Bài 35 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Tập xác định của hàm số y = log₃(2x + 1) là:

A. ℝ;

B. $\left[-\frac{1}{2};+\infty \right);$

C. $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\};$

D. $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right).$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định: $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}.$

Suy ra tập xác định của hàm số y = log₃(2x + 1) là $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right).$

Bài 36 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Tập xác định của hàm số y = log5(x2) là:

A. ℝ \ {0};

B. ℝ;

C. (0; +∞);

D. [0; +∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x² > 0 ⇔ x ≠ 0.

Suy ra tập xác định của hàm số y = log₅(x²) là ℝ \ {0}.

Bài 37 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số có tập xác định ℝ là:

A. y = log₅ x;

B. $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x;$

C. y = ln(x² – 1);

D. $y=2^{\frac{1}{x}}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số y = log₅x là (0; +∞).

Tập xác định của hàm số $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là ℝ.

Tập xác định của hàm số y = ln(x² – 1) là (–∞; –1) ∪ (1; +∞).

Tập xác định của hàm số $y=2^{\frac{1}{x}}$ là ℝ \ {0}.

Bài 38 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó là:

A. y = e^x;

B. $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x;$

C. $y={\left(\sqrt{5}\right)}^x;$

D. $y={\left(1,2\right)}^x.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Cả 4 đáp án đều có tập xác định: D = ℝ.

Do $0<\frac{1}{5}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ hay hàm số $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài 39 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là:

A. $y={\log }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}x.$

B. y = log_0,5 x;

C. y = – logx;

D. y = lnx.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cả 4 đáp án đều có tập xác định: D = (0; +∞).

Do e > 1 nên hàm số y = lnx đồng biến trên D = (0; +∞) hay hàm số y = lnx đồng biến trên tập xác định của nó.

Bài 40 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Giá trị thực của tham số a để hàm số y = log_2a+3 x đồng biến trên khoảng (0; +∞) là:

A. a > 1;

B. a > – 1;

C. a > 0, a ≠ 1;

D. a > –1; a ≠ 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Để hàm số y = log_2a+3 x đồng biến trên khoảng (0; +∞) thì 2a + 3 > 1 ⇔ a > –1.

Bài 41 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Cho $a^{\frac{7}{3}}<a^{\frac{7}{8}}$${\log }_b\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)<{\log }_b\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right).$ Kết luận nào sau đây đúng?

A. a > 1 và b > 1;

B. 0 < a < 1 và 0 < b < 1;

C. 0 < a < 1 và b > 1;

D. a > 1 và 0 < b < 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do $a^{\frac{7}{3}}<a^{\frac{7}{8}}$$\frac{7}{3}>\frac{7}{8}$ nên 0 < a < 1.

Do ${\log }_b\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)<{\log }_b\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$ và $\sqrt{2}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nên 0 < b < 1.

Vậy 0 < a < 1 và 0 < b < 1.

Bài 42 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Đường nào sau đây là đồ thị hàm số y = 4^x?

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = 4^x là hàm số mũ có a = 4 > 1 nên hàm số đồng biến trên ℝ. Do đó đồ thị ở phương án B và C là sai.

Thay x = 1 vào hàm số y = 4^x ta được y = 4¹ = 4, do đó đồ thị luôn đi qua điểm (1; 4). Do đó đồ thị ở phương án A là sai, đồ thị ở phương án D là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 43 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị của ba hàm số lôgarit y = log_ax, y = log_bx, y = log_cx được cho bởi Hình 4. Kết luận nào sau đây là đúng đối với ba số a, b, c?

A. c > b > a;

B. a > b > c;

C. b > a > c;

D. c > a > b.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số lôgarit y = log_c x nghịch biến trên (0; +∞) nên 0 < c < 1. (1)

Hàm số lôgarit y = log_ax, y = log_bx đồng biến trên (0; +∞) nên a > 1 và b > 1 (2)

Với x = 100, từ đồ thị ta thấy:

${\log }_{a}100>{\log }_{b}100>0$

$\iff \frac{1}{{\log }_{100}a}>\frac{1}{{\log }_{100}b}$

$\iff \frac{1}{{\log }_{100}a}>\frac{1}{{\log }_{100}b}$

$\iff {\log }_{100}a<{\log }_{100}b\iff a<b$ (do 100 > 1) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: b > a > c.

Bài 44 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Lời giải:

a) Xét hàm số: $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ có $\sqrt{2}>1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(-2;\frac{1}{2}\right),$ (0; 1), (2; 2), ( ; 4) (hình vẽ dưới đây).

b) Xét hàm số: $y={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^x$có $\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(2;\frac{1}{2}\right)$, (0; 1), (–2; 2), (–4; 4) (hình vẽ dưới đây).

c) Xét hàm số: $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ có $\sqrt{3}>1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(\frac{1}{3};-2\right)$, (1; 0), (3; 2), (9; 4) (hình vẽ dưới đây).

d) Xét hàm số: $y=-{\log }_{2}x={\log }_{2^{-2}}x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có $0<\frac{1}{2}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = –log₂x là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(\frac{1}{2};1\right)$, (1; 0), (2; –1), (4; –2) (hình vẽ dưới đây).

Bài 45 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Dựa vào đồ thị hàm số, cho biết với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = (0,5)^x .

a) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 1;

b) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 4;

c) Nằm ở dưới trên đường thẳng $y=\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Xét hàm số: y = (0,5)^x có 0 < 0,5 < 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = (0,5)^x là một đường cong liền nét đi qua các điểm (–2; 4), (–1; 2), (0; 1), $\left(1;\frac{1}{2}\right)$ (hình vẽ dưới đây).

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta thấy:

a) Đồ thị hàm số y = (0,5)^x nằm ở phía trên đường thẳng y = 1 khi x < 0.

b) Đồ thị hàm số y = (0,5)^x nằm ở phía trên đường thẳng y = 4 khi x < –2.

c) Đồ thị hàm số y = (0,5)^x nằm ở phía dưới đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ khi x > 1.

Bài 46 trang 45 SBT Toán 11 Tập 2: Dựa vào đồ thị hàm số, cho biết với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = log₃x:

a) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 1;

b) Nằm ở phía dưới trục hoành.

Lời giải:

Xét hàm số: y = log₃x có 3 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = log₃x là một đường cong liền nét đi qua các điểm $\left(\frac{1}{3};-1\right)$, (1; 0), (3; 1), (9; 2) (hình vẽ dưới đây).

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta thấy:

a) Đồ thị hàm số y = log₃x nằm ở phía trên đường thẳng y = 1 khi x > 3.

b) Đồ thị hàm số y = log₃x nằm ở phía dưới trục hoành (y = 0) khi x < 1.

Bài 47 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-5};$ b) $y=3^{\frac{x-1}{x+1}};$

c) $y=1,5^{\sqrt{x+2}};$ d) y = log₅(1 – 5x);

e) y = log(4x² – 9); g) y = ln(x² – 4x + 4).

Lời giải:

a) Hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-5}$ có tập xác định là ℝ.

b) Hàm số $y=3^{\frac{x-1}{x+1}}$ xác định khi x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

Vậy tập xác định của hàm số $y=3^{\frac{x-1}{x+1}}$ là ℝ \ {–1}.

c) Hàm số $y=1,5^{\sqrt{x+2}}$ xác định khi x + 2 ≥ 0 hay x ≥ – 2.

Vậy tập xác định của hàm số $y=1,5^{\sqrt{x+2}}$ là [–2; +∞).

d) Hàm số y = log₅(1 – 5x) xác định khi 1 – 5x > 0 hay $x<\frac{1}{5}.$

Vậy tập xác định của hàm số $y={\log }_5\left(1-5x\right)$ là $x<\frac{1}{5}.$

e) Hàm số y = log(4x² – 9) xác định khi $4x^2–9>0\iff x^2>\frac{9}{4}\iff \left[\begin{array}{l}x>\frac{3}{2}\\ x<-\frac{3}{2}\end{array}\right..$

Vậy tập xác định của hàm số y = log(4x² – 9) là $\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right).$

g) Hàm số y = ln(x² – 4x + 4) xác định khi x² – 4x + 4 > 0 ⇔ (x – 2)² > 0 ⇔ x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số y = ln(x² – 4x + 4) là ℝ \ {2}.

Bài 48 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = log₃(4x² – 4x + m) xác định trên ℝ.

Lời giải:

Để hàm số y = log₃(4x² – 4x + m) xác định trên ℝ thì 4x² – 4x + m > 0, ∀x ∈ ℝ.

Đặt f(x) = 4x² – 4x + m

Có ∆’ = (−2)² – 4.m = 4 – 4m.

Để f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ thì ∆’ < 0, ∀x ∈ ℝ ⟺ 4 – 4m < 0 ⟺ m > 1.

Vậy m > 1 thì hàm số y = log₃(4x² – 4x + m) xác định trên ℝ.

Bài 49 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tất cả giá trị của tham số a để hàm số $y={\log }_{a^2-2a+1}x$ nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Lời giải:

Để hàm số $y={\log }_{a^2-2a+1}x$ nghịch biến trên khoảng (0; +∞) thì

$0<a^2-2a+1<1\iff \left\{\begin{array}{l}0<{\left(a-1\right)}^2\\ a^2-2a+1<1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a\ne 1\\ a^2-2a<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\ne 1\\ 0<a<2\end{array}\right..$

Vậy a ∈ (0; 2) \ {1} thì hàm số $y={\log }_{a^2-2a+1}x$ nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Bài 50 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số: $f\left(x\right)=\frac{9^x}{9^x+3}.$

a) Với a, b là hai số thực thỏa mãn a + b = 1. Tính f(a) + f(b).

b) Tính tổng: $S=f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2}{2023}\right)+\mathrm{...}+f\left(\frac{2022}{2023}\right).$

Lời giải:

a) Xét $f\left(x\right)=\frac{9^x}{9^x+3}.$

Ta có: $f\left(a\right)=\frac{9^a}{9^a+3}.$

Do a + b = 1 nên b = 1 – a.

Suy ra: $f\left(b\right)=f\left(1-a\right)=\frac{9^{1-a}}{9^{1-a}+3}=\frac{\frac{9}{9^a}}{\frac{9}{9^a}+3}$

$=\frac{\frac{9}{9^a}}{\frac{9+9^a\cdot 3}{9^a}}=\frac{9}{9+9^a\cdot 3}=\frac{3}{3+9^a}.$

Từ đó ta có: $f\left(a\right)+f\left(b\right)=\frac{9^a}{9^a+3}+\frac{3}{9^a+3}=\frac{9^a+3}{9^a+3}=1.$

b) Ta thấy: $\frac{1}{2023}+\frac{2022}{2023}=1;$$\frac{2}{2023}+\frac{2021}{2023}=1;$ …; $\frac{1011}{2023}+\frac{1012}{2023}=1.$

Nên theo câu a, ta có:

$f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2022}{2023}\right)=1;$

$f\left(\frac{2}{2023}\right)+f\left(\frac{2021}{2023}\right)=1;$

…;

$f\left(\frac{1011}{2023}\right)+f\left(\frac{1012}{2023}\right)=1.$

Suy ra:

$S=f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2}{2023}\right)+\mathrm{...}+f\left(\frac{2022}{2023}\right)$

$=\left[f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2022}{2023}\right)\right]+\left[f\left(\frac{2}{2023}\right)+f\left(\frac{2021}{2023}\right)\right]+\mathrm{...}$

$\mathrm{...}+\left[f\left(\frac{1011}{2023}\right)+f\left(\frac{1012}{2023}\right)\right]$ (có 1 011 nhóm)

= 1 + 1 + … + 1 (có 1 011 số hạng 1)

= 1 011.

Bài 51 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2: Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của ${}_6{}^{14}C$ là 5 730 năm, tức là sau 5 730 năm thì số nguyên tử ${}_6{}^{14}C$ giảm đi một nửa.

a) Gọi m₀ là khối lượng của ${}_6{}^{14}C$ tại thời điểm t = 0. Viết công thức tính khối lượng m(t) của ${}_6{}^{14}C$ tại thời điểm t (năm).

b) Một cây còn sống có lượng ${}_6{}^{14}C$ trong cây được duy trì không đổi. Nhưng nếu cây chết thì lượng ${}_6{}^{14}C$ trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ được xác định chết cách đây 2 000 năm. Tính tỉ lệ phần trăm lượng ${}_6{}^{14}C$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

a) Chu kì bán rã của ${}_6{}^{14}C$ là T = 5 730 (năm).

Cứ sau 5 730 năm thì số nguyên tử ${}_6{}^{14}C$ giảm đi một nửa hay sau 5 730 năm, khối lượng của ${}_6{}^{14}C$ giảm đi một nửa.

Suy ra khối lượng của ${}_6{}^{14}C$ còn lại sau t năm là: $m\left(t\right)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}.$

b) Từ công thức: $m\left(t\right)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}},$ suy ra tỉ lệ phần trăm lượng ${}_6{}^{14}C$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó (t = 2 000) so với lúc còn sinh trưởng là:

$\frac{m\left(t\right)}{m_0}\cdot 100\%=\frac{m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}}{m_0}\cdot 100\%$

$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}\cdot 100\%={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2000}{5730}}\cdot 100\%\approx 78,5\%.$

Bài 52 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2: Mức cường độ âm L (dB) được tính bởi công thức $L=10\log \frac{I}{{10}^{-12}},$ trong đó I (W/m²) là cường độ âm. Tai người có thể nghe được âm có cường độ âm từ 10^–12 W/m² đến 10 W/m². Tính mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được.

Lời giải:

Vì tai người có thể nghe được âm có cường độ âm từ 10^–12 W/m² đến 10 W/m² nên ta có:

Vậy mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được 0 (dB) đến 130 (dB).

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

1. Hàm số mũ

Cho số thực a ( a > 0, a $\ne$ 1). Hàm số $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Xét hai trường hợp:

Đồ thị:

2. Hàm số lôgarit

Cho số thực a ( a > 0, a $\ne$ 1). Hàm số $y={\log }_{a}x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Xét hai trường hợp:

Đồ thị:

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm cấp hai