Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Đạo hàm cấp hai

    Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 3.

    1 432 29/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

    Bài 29 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là:

    A. f(t0).

    B. f’’(t0).

    C. f’(t0).

    D. –f’(t0).

    Lời giải:

    Đáp án đúng là: B

    Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là đạo hàm cấp hai của f(s = f(t) và bằng f’’(t0).

    Bài 30 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = e–x. Khi đó f’’(x) bằng:

    A. e–x.

    B. – e–x.

    C. – ex.

    D. ex.

    Lời giải:

    Đáp án đúng là: A

    Xét hàm số f(x) = e–x. Ta có:

    f’(x) = (e–x) = – e–x.

    f’’(x) = (– e–x)’ = e–x.

    Vậy ta chọn phương án A.

    Bài 31 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = ln(3x). Khi đó f’’(x) bằng:

    A. −19x2.

    B. −1x2.

    C. 3x2.

    D. −3x2.

    Lời giải:

    Đáp án đúng là: B

    Xét hàm số f(x) = ln(3x). Ta có:

    f'x=ln3x'=3x'3x=33x=1x.

    f''x=1x'=−1x2.

    Vậy ta chọn phương án B.

    Bài 32 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số fx=1x. Khi đó f’’(1) bằng:

    A. 1.

    B. –2.

    C. 2.

    D. –1.

    Lời giải:

    Đáp án đúng là: C

    Xét hàm số fx=1x. Ta có:

    f'x=1x'=−1x2;

    f''x=−1x2'=1−x2'−−x2'−x22=−−2xx4=2x3.

    Do đó f''1=213=2.

    Bài 33 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

    a) fx=13x+5;

    b) gx=2x+3x2.

    Lời giải:

    a) Xét hàm số fx=13x+5. Ta có:

    f'x=−3x+5'3x+52=−33x+52;

    f''x=−3⋅−3x+52'3x+522=3⋅23x+5⋅33x+54=183x+53.

    b) Xét hàm số gx=2x+3x2. Ta có:

    g'x=x+3x2'ln2⋅2x+3x2=6x+1ln2⋅2x+3x2.

    g''x=ln26x+1'⋅2x+3x2+6x+1⋅2x+3x2'

    =ln26⋅2x+3x2+6x+1⋅6x+1ln2⋅2x+3x2

    =6ln2⋅2x+3x2+6x+1ln22⋅2x+3x2.

    Bài 34 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = sinx . cosx . cos2x.

    a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

    b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0=π6.

    Lời giải:

    a) Ta có: fx=sinx⋅cosx⋅cos2x=12sin2x⋅cos2x=14sin4x.

    Khi đó, f'x=14⋅4x'⋅cos4x=cos4x.

    f’’(x) = (4x)’.(–sin4x) = –4sin4x.

    b) Vì f’’(x) = –4sin4x nên ta có:

    f''π6=−4sin4⋅π6=−4sin2π3=−4⋅32=−23.

    Bài 35 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x3 + 4x2 + 5. Giải bất phương trình f’(x) – f’’(x) ≥ 0.

    Lời giải:

    Xét hàm số f(x) = x3 + 4x2 + 5. Ta có:

    f’(x) = (x3 + 4x2 + 5)’ = 3x2 + 8x;

    f’’(x) = (3x2 + 8x)’ = 6x + 8.

    Khi đó, f’(x) – f’’(x) = 3x2 + 8x – 6x – 8 = 3x2 + 2x – 8.

    Để f’(x) – f’’(x) ≥ 0 thì 3x2 + 2x – 8 ≥ 0

    ⇔3x−4x+2≥0⇔x≥43x≤−2.

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=−∞;−2∪43;+∞.

    Bài 36 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình st=13t3−3t2+8t+2, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm:

    a) Tại thời điểm t = 5 (s).

    b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1 m/s.

    Lời giải:

    Ta có: s't=13t3−3t2+8t+2'=t2−6t+8;

    s’’(t) = (t2 – 6t + 8)’ = 2t – 6.

    Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là s’’(t) = (t2 – 6t + 8)’ = 2t – 6.

    a) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s) là:

    s’’(5) = 2.5 – 6 = 4 (m/s2).

    b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1 m/s là:

    s’(t) = t2 – 6t + 8 = –1

    ⇔ t2 – 6t + 9 = 0

    ⇔ (t – 3)2 = 0

    ⇔ t – 3 = 0

    ⇔ t = 3 (s).

    Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3 (s) là:

    s’’(3) = 2.3 – 6 = 0 (m/s2).

    Bài 37 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm có phương trình chuyển động st=3sint+π3, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimet. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t=π2  s.

    Lời giải:

    Ta có:

    s't=3cost+π3;

    s''t=−3sint+π3.

    Do đó gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là

    s''t=−3sint+π3 (cm/s2).

    Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t=π2  s là:

    s''π2=−3sinπ2+π3=−3sin5π6=−32 (cm/s2).

    Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

    1. Định nghĩa

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) tại mọi điểm x∈(a;b). Nếu hàm số y’ = f’(x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).

    2. Ý nghĩa cơ học

    Đạo hàm cấp hai s”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

    Sơ đồ tư duy Đạo hàm cấp hai

    Lý thuyết Đạo hàm cấp hai (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài tập cuối chương 7

    Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 432 29/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: