Sách bài tập Toán 11 Bài 5 (Cánh diều): Hình lăng trụ và hình hộp

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 36 trang 112 SBT Toán 11: Số đường chéo trong một hình hộp là:

A. 4.

B. 24.

C. 28.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hình hộp có 4 đường chéo.

Bài 37 trang 112 SBT Toán 11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, B'C'. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (A'MN) // (ACC').

B. (A'BN) // (AC'M).

C. C'M // (A'B'B).

D. BN // (ACC'A').

Lời giải:

+ Vì A, C, C', A' đồng phẳng nên A' ∈ (ACC'), mà A' ∈ (A'MN) nên hai mặt phẳng (A'MN) và (ACC') không thể song song. Do đó đáp án A sai.

+ Trong mặt phẳng (BCC'B'), hai đường thẳng C'M và BB' cắt nhau nên C'M không thể song song với mặt phẳng (A'B'B). Do đó đáp án C sai.

+ Trong hình bình hành BCC'B' có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B'C' nên ta chứng minh được MN // BB' và MN = BB'.

Mà AA' // BB' và AA' = BB' nên MN // AA' và MN = AA'.

Suy ra AMNA' là hình bình hành, do đó AM // A'N.

Mà A'N ⊂ (A'BN) nên AM // (A'BN). (1)

Ta cũng chứng minh được BMC'N là hình bình hành nên C'M // BN.

Mà BN ⊂ (A'BN) nên C'M // (A'BN). (2)

Từ (1) và (2) suy ra (A'BN) // (AC'M). Vậy đáp án B đúng.

Bài 38 trang 112 SBT Toán 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Các mặt của hình hộp là các hình bình hành.

B. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

C. Các đoạn thẳng AC', A'C, BD', B'D bằng nhau.

D. Các đường thẳng AC', A'C, BD', B'D đồng quy.

Lời giải:

Theo định nghĩa và tính chất của hình hộp, ta có các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.

Bài 39 trang 113 SBT Toán 11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B', B'C'. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và (ACC'A'). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. d // AA'.

B. d // BC.

C. d // A'B'.

D. d // A'C'.

Lời giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của A'B', B'C' nên MN là đường trung bình của tam giác A'B'C', suy ra MN // A'C'.

Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi D là giao điểm của AA' và BM.

Vì AA' ⊂ (ACC'A') nên D ∈ (ACC'A'), BM ⊂ (BMN) nên D ∈ (BMN).

Khi đó, hai mặt phẳng (BMN), (ACC'A') có điểm chung là D và lần lượt chứa hai đường thẳng MN và A'C' song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua điểm D và song song với MN, A'C'.

Bài 40 trang 113 SBT Toán 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (BA'C') song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. (ACD).

B. (ADD').

C. (DCD').

D. (AD'C).

Lời giải:

Do AA'B'B và CDD'C là các hình bình hành nên AB // C'D' và AB = C'D' (cùng song song và bằng CD).

Suy ra ABC'D' là hình bình hành. Do đó, AD' // BC'.

Mà BC' ⊂ (BA'C') nên AD' // (BA'C'). (1)

Tương tự, A'BCD' cũng là hình bình hành nên A'B // CD'.

Mà A'B ⊂ (BA'C') nên CD' // (BA'C'). (2)

Từ (1) và (2) suy ra (AD'C) // (BA'C').

Bài 41 trang 113 SBT Toán 11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của A'C'.

a) Chứng minh rằng A'B // (B'CM).

b) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC').

Lời giải:

Bài 42 trang 113 SBT Toán 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A', AA'. Chứng minh rằng:

a) Sáu điểm M, N, P, Q, R, S cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Các đoạn thẳng MQ, NR, PS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Lời giải:

Bài 43 trang 113 SBT Toán 11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, I, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A'B'C', A'B'B.

a) Chứng minh rằng IK // (BCC'B').

b) Chứng minh rằng (AGK) // (A'IC).

c) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt A'C tại điểm L. Tính $\frac{LA\text{'}}{LC}$.

Lời giải:

Bài 44 trang 113 SBT Toán 11: Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.

Lời giải:

Trước hết ta chứng minh một kết quả trong hình học phẳng: Trong hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh.

Xét hình bình hành MNPQ:

Áp dụng định lí côsin trong các tam giác MPQ và QPN, ta có:

MP2 = QM2 + QP2 – 2QM . QP . cos$\widehat{MQP}$

QN2 = PQ2 + PN2 – 2PQ . PN . cos$\widehat{QPN}$

Do QM = PN và $\cos \widehat{MQP}=-\cos \widehat{QPN}$ (do hai góc bù nhau) nên ta có:

MP2 + QN2 = 2(QM2 + QP2).

Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D':

Áp dụng kết quả trên cho hai hình bình hành AA'C'C và BB'D'D ta được:

AC'2 + A'C2 = 2(AA'2 + A'C'2)

BD'2 + B'D2 = 2(BB'2 + B'D'2)

Suy ra AC'2 + A'C2 + BD'2 + B'D2 = 4AA'2 + 2(A'C'2 + B'D'2) (do AA' = BB').

Mặt khác, trong hình bình hành A'B'C'D', ta có: A'C'2 + B'D'2 = 2(A'B'2 + A'D'2).

Vậy AC'2 + A'C2 + BD'2 + B'D2 = 4AA'2 + 4A'B'2 + 4A'D'2.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 45 trang 113 SBT Toán 11: Phần trong của một bể đựng nước được xây có dạng hình hộp như Hình 38. Để xác định tỉ số của độ cao mực nước trong bể với chiều cao của lòng bể, bạn Minh làm như sau: “Lấy một thanh thước thẳng đủ dài cắm vào bể sao cho một đầu chạm đáy bể và để thước tựa vào mép dưới của thành miệng bể, đánh dấu điểm tựa. Sau đó rút thước lên, tính tỉ số độ dài của phần thước chìm trong nước và độ dài của phần thước từ điểm được đánh dấu đến điểm đầu chạm đáy bể. Tỉ số đó chính bằng tỉ số của độ cao mực nước trong bể với chiều cao của lòng bể”. Bạn Minh làm có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Bạn Minh làm như vậy là đúng.

Giả sử phần trong bể nước và thước được biểu diễn bởi hình hộp ABCD.A'B'C'D' và đường thẳng MO. Mặt nước được biểu diễn bởi mặt phẳng (IJKL) (như hình vẽ).

Khi đó ba mặt phẳng (ABCD), (A'B'C'D'), (IJKL) đôi một song song, áp dụng định lí Thalès trong không gian ta có:

$\frac{A\text{'}I}{MN}=\frac{IA}{NO}=\frac{AA\text{'}}{OM}\Rightarrow \frac{IA}{AA\text{'}}=\frac{NO}{OM}$.

Lý thuyết Hình lăng trụ và hình hộp

I. Hình lăng trụ

1. Định nghĩa

- Hình gồm hai đa giác $A_1{A}_2...A_n$, ${A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }...{A_n}^{\prime }$ và các tứ giác $A_1{A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }{A}_2$,$A_2{A_2}^{\prime }{A_3}^{\prime }{A}_3$,…,$A_n{A_n}^{\prime }{A_1}^{\prime }{A}_1$ được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là $A_1{A}_2...A_n.{A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }...{A_n}^{\prime }$.

- Trong hình lăng trụ $A_1{A}_2...A_n.{A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }...{A_n}^{\prime }$

+ Các điểm $A_1,A_2,...,A_n$ và ${A_1}^{\prime },{A_2}^{\prime },...,{A_n}^{\prime }$ được gọi là các đỉnh.

+ Các đoạn thẳng $A_1{A_1}^{\prime },A_2{A_2}^{\prime },...,A_n{A_n}^{\prime }$ được gọi là các cạnh bên, các đoạn thẳng.$A_1{A}_2,A_2{A}_3,...,A_n{A}_1$và ${A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime },{A_2}^{\prime }{A_3}^{\prime },...,{A_n}^{\prime }{A_1}^{\prime }$ gọi là cạnh đáy của hình trụ.

+ Hai đa giác $A_1{A}_2...A_n$và ${A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }...{A_n}^{\prime }$ được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

+ Các tứ giác $A_1{A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }{A}_2$,$A_2{A_2}^{\prime }{A_3}^{\prime }{A}_3$,…,$A_n{A_n}^{\prime }{A_1}^{\prime }{A}_1$ gọi là các mặt bên của hình trụ.

* Chú ý: Nếu đáy của lăng trụ là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì lăng trụ tương ứng gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác.

2. Tính chất

- Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.

- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

- Hai mặt đáy của hình lăng trụ là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

II. Hình hộp

1. Định nghĩa

- Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

- Trong mỗi hình hộp, ta gọi:

+ Hai mặt không có đỉnh chung là hai mặt đối diện.

+ Hai cạnh song song không nằm trong một mặt phẳng là hai cạnh đối diện.

+ Hai đỉnh không thuộc cùng một mặt là hai đỉnh đối diện.

+ Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện là đường chéo.

2. Tính chất

- Các mặt của hình hộp là hình bình hành.

- Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bài tập cuối chương 4