Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Phép tính lôgarit

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 2.

1 770 29/10/2024

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

Bài 17 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, a ≠ 2. Giá trị của $\log_{\frac{a}{2}} (\frac{a^{2}}{4})$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. 2;

C. $- \frac{1}{2};$

D. – 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, a ≠ 2 ta có: $\log_{\frac{a}{2}} (\frac{a^{2}}{4}) = \log_{\frac{a}{2}} (\frac{a^{2}}{2^{2}}) = \log_{\frac{a}{2}} {(\frac{a}{2})}^{2} = 2.$

Bài 18 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, a ≠ 1. Giá trị của $\log_{a} \sqrt{a \sqrt{a}}$ bằng:

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{1}{8}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Với a > 0, a ≠ 1 ta có:

$\log_{a} \sqrt{a \sqrt{a}} = \log_{a} {(a . a^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = \log_{a} {(a^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ $= \log_{a} a^{\frac{3}{2} . \frac{1}{2}} = l o g_{a} a^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4} .$

Bài 19 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0. Giá trị của $\log_{2} (\frac{8}{a})$ bằng:

A. 3 – log₂a;

B. 4 – log₂a;

C. $\frac{1}{\log_{2} a};$

D. 8 – log₂a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có:

$\log_{2} (\frac{8}{a}) = \log_{2} 8 - \log_{2} a = \log_{2} 2^{3} - \log_{2} a$

= 3log₂2 – log₂ a = 3 – log₂a.

Bài 20 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu log_ab = 2, log_ac = 3, thì log_a(b²c³) bằng:

A. 108;

B. 13;

C. 31;

D. 36.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, b > 0, c > 0, a ≠ 1 ta có:

log_a(b²c³) = log_ab² + log_ac³ = 2log_ab + 3log_ac = 2.2 + 3.3 = 13.

Bài 21 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0. Giá trị của ln(9a) – ln(3a) bằng:

A. ln(6a);

B. ln6;

C. $\frac{\ln 9}{\ln 3};$

D. ln3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Với a > 0 ta có:

ln(9a) – ln(3a) = ln(3.3a) – ln(3a)

= ln3 + ln(3a) – ln(3a) = ln3.

Bài 22 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, b > 0. Mệnh đề đúng là:

Cho a > 0, b > 0. Mệnh đề đúng là

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0 ta có:

$\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = \log_{2} (2 a^{3}) - \log_{2} b$

= log₂2 + log₂a³ – log₂b = 1 + 3log₂a – log₂b.

Bài 23 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, a ≠ 1 và b > 0. Mệnh đề đúng là:

Cho a > 0, a ≠ 1 và b > 0. Mệnh đề đúng là

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Với a > 0, a ≠ 1 và b > 0 ta có:

$\log_{a^{2}} (a b) = \frac{1}{2} \log_{a} (a b) = \frac{1}{2} (\log_{a} a + \log_{a} b)$

$= \frac{1}{2} (1 + l o g_{a} b) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b .$

Bài 24 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu log₂3 = a thì log₆9 bằng:

Bài 24 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Nếu log₂3 = a thì $\log_{6} 9 = \frac{\log_{2} 9}{\log_{2} 6} = \frac{\log_{2} 3^{2}}{\log_{2} 3 + l o g_{2} 2}$

$= \frac{2 \log_{2} 3}{\log_{2} 3 + 1} = \frac{2 a}{a + 1} .$

Bài 25 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu log_ab = 5 thì $\log_{a^{2} b} (a b^{2})$ bằng:

A. $\frac{11}{7}$

B. 1;

C. 4;

D. $\frac{26}{7}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0, a ≠ 1 và log_ab = 5 thì

$\log_{a^{2} b} (a b^{2}) = \frac{\log_{a} (a b^{2})}{\log_{a} (a^{2} b)} = \frac{\log_{a} a + \log_{a} b^{2}}{\log_{a} a^{2} + \log_{a} b}$

$= \frac{1 + 2 \log_{a} b}{2 + l o g_{a} b} = \frac{1 + 2 \cdot 5}{2 + 5} = \frac{11}{7} .$

Bài 26 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a² + b² = 7ab. Khi đó, log(a+b) bằng:

Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a^2 + b^2 = 7ab

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Với a > 0, b > 0 ta có:

a² + b² = 7ab hay a² + 2ab + b² = 9ab ⇒ (a + b)² = 9ab.

$\Rightarrow a + b = \sqrt{9 a b} \Rightarrow a + b = 3 {(a b)}^{\frac{1}{2}}$ (Vì a > 0, b > 0).

Xét: $\log (a + b) = \log [3 {(a b)}^{\frac{1}{2}}]$

$= \log 3 + \log {(a b)}^{\frac{1}{2}}$

$= \log 3 + \frac{1}{2} (\log a + \log b) .$

Bài 27 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính

Lời giải:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính

Bài 28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Tính:

Bài 28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2

Lời giải:

Bài 28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2

Bài 29 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Cho log_ab = 4. Tính:

Bài 29 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2

Lời giải:

Bài 29 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2

Bài 30 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: a) Cho log₂3 = a. Tính log₁₈72 theo a

b*) Cho log2 = a. Tính log₂₀50 theo a.

Lời giải:

a) $\log_{18} 72 = \frac{\log_{2} 72}{\log_{2} 18} = \frac{\log_{2} (2^{3} {.3}^{2})}{\log_{2} ({2.3}^{2})}$

$= \frac{\log_{2} 2^{3} + \log_{2} 3^{2}}{\log_{2} 2 + \log_{2} 3^{2}} = \frac{3 + 2 \log_{2} 3}{1 + 2 \log_{2} 3} = \frac{3 + 2 a}{1 + 2 a} .$

b*) Ta có: 1 = log10 = log(2.5) = log2 + log5 nên log5 = 1 – log2 = 1 – a.

Xét: $\log_{20} 50 = \frac{\log 50}{\log 20} = \frac{\log (10.5)}{\log (10.2)}$

$= \frac{\log 10 + \log 5}{\log 10 + \log 2} = \frac{1 + 1 - a}{1 + a} = \frac{2 - a}{1 + a} .$

Bài 31 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: x² + 4y² = 6xy. Chứng minh rằng:

2log(x + 2y) = 1 + logx + logy.

Lời giải:

Với x > 0, y > 0 ta có:

x² + 4y² = 6xy ⇒ x² + 4xy + 4y² = 10xy

⇒ (x + 2y)² = 10xy.

Suy ra: 2log(x + 2y) = log(x + 2y)²

= log(10xy) = log10 + logx + logy

= 1 + logx + logy.

Vậy 2log(x + 2y) = 1 + logx + logy.

Bài 32 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương khác 1 và log_xa, log_yb, log_zc theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng:

$\log_{b} y = \frac{2 \log_{a} x \cdot \log_{c} z}{\log_{a} x + \log_{c} z} .$

Lời giải:

Do log_xa, log_yb, log_zc theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương khác 1

Bài 33 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ ${}_{6}^{14}C$ có trong mẫu vật tại thời điểm t (năm) (so với thời điểm ban đầu t = 0), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ $H = H_{0} e^{- λ t}$ (đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với H₀ là độ phóng xa ban đầu (tại thời điểm t = 0); $λ = \frac{\ln 2}{T}$ là hằng số phóng xạ, T = 5 730 (năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Chất phóng xạ có chu kì bán rã là T = 5 730 (năm).

Suy ra: $λ = \frac{\ln 2}{5 730} .$

Gọi t là độ tuổi của mẫu gỗ cổ.

Vì độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq nên ta có H₀ = 0,250 Bq.

Khi khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xa là 0,215 Bq, suy ra ta có H = 0,215 Bq.

Ta có:

Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ

Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó xấp xỉ 1 247 năm.

Lý thuyết Phép tính lôgarit

1. Khái niệm lôgarit

a) Định nghĩa

Với a > 0, a $\neq$ 1 và b > 0, ta có: $c = \log_{a} b \Leftrightarrow a^{c} = b$ . Ngoài ra:

- Lôgarit thập phân của b là lôgarit cơ số 10 của số thực dương b:

$c = \log b \Leftrightarrow 10^{c} = b$

- Lôgarit tự nhiên của b là lôgarit cơ số e của số thực dương b:

$c = \ln b \Leftrightarrow e^{c} = b$ .

b) Tính chất

Với a > 0, a $\neq$ 1 và b > 0, ta có:

$\log_{a} 1 = 0$ ; $\log_{a} a = 1$ ; $\log_{a} a^{c} = c$ ; $a^{\log_{a} b} = b$ .

2. Một số tính chất của phép tính lôgarit

Trong mục này, ta xét a > 0, a $\neq$ 1 và b > 0.

a) Lôgarit của một tích, một thương

Với m > 0, n > 0, ta có:

$\log_{a} (m n) = \log_{a} m + \log_{a} n$ ;
$\log_{a} (\frac{m}{n}) = \log_{a} m - \log_{a} n$ .

Nhận xét: $\log_{a} (\frac{1}{b}) = - \log_{a} b$ .

b) Lôgarit của một lũy thừa

Với mọi số thực $α$ , ta có: $\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$ .

Nhận xét: Với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ , ta có: $\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{a} b$ .

c) Đổi cơ số của lôgarit

Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có: $\log_{b} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{a} b}$ .

Nhận xét: Với a, b là hai số thực dương khác 1, c > 0 và $α \neq 0$ , ta có những công thức sau:

$\log_{a} b . \log_{b} c = \log_{a} c$ ;
$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$ ;
$\log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b$ .

Sơ đồ tư duy Phép tính lôgarit

Lý thuyết Phép tính lôgarit (Cánh diều 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

1 770 29/10/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3