Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 6

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 6

Bài 69 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu $a^{\frac{3}{4}}<a^{\frac{4}{5}}$ thì:

A. a < 1;

B. 0 < a < 1;

C. a < 0;

D. a > 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Do $\frac{3}{4}<\frac{4}{5}$ và $a^{\frac{3}{4}}<a^{\frac{4}{5}}$ suy ra a > 1.

Bài 70 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu 2^x = 3 thì 4^x bằng:

A. 6;

B. 9;

C. 12;

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2=3^2=9.$

Bài 71 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu $\sqrt[6]{x}=a$ thì $\sqrt{x}$ bằng:

A.$\sqrt[3]{a};$

B.$\sqrt[4]{a};$

C. a³;

D. a⁴.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{6}}={\left(\sqrt[6]{x}\right)}^3=a^3.$

Bài 72 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Rút gọn biểu thức $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ với x ≥ 0 nhận được:

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0 ta có: $\sqrt{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[2\cdot 3]{x}=\sqrt[6]{x}.$

Bài 73 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Tập xác định của hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+2}$ là:

A. (2; +∞);

B. ℝ;

C. (2; +∞) \ {–1};

D. ℤ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt{2}>0$ và $\sqrt{2}\ne 1$ nên hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+2}$ là hàm số mũ có tập xác định là R

Bài 74 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Tập xác định của hàm số log₂(x – 1) là:

A. [1; +∞);

B. [1; +∞) \ {2};

C. (1; +∞);

D. (0; +∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x – 1 > 0 hay x > 1.

Suy ra tập xác định của hàm số log₂(x – 1) là (1; +∞).

Bài 75 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Giá trị của log₂9 – log₂36 bằng:

A. 2;

B. 4;

C. – 4;

D. – 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\log }_{2}9-{\log }_{2}36={\log }_2\frac{9}{36}={\log }_2\frac{1}{4}={\log }_2{2}^{-2}=-2.$

Bài 76 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu ${\log }_4\sqrt{a}=16$ thì log₄a bằng:

A. 32;

B. 256;

C. 8;

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có: ${\log }_{4}a={\log }_4{\left(\sqrt{a}\right)}^2=2{\log }_4\sqrt{a}=2\cdot 16=32.$

Bài 77 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu log2 = a thì log 4 000 bằng:

A. 2a + 3;

B. 3a²;

C. $\frac{1}{2}a+3;$

D. a² + 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: log4 000 = log(4.1 000) = log(2².10³)

= log2² + log10³ = 2log2 + 3 = 2a + 3.

Bài 78 trang 52 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu log₁₂6 = a thì log₂6 bằng:

A. $\frac{a}{1+a};$

B. $\frac{2a}{1-a};$

C.$\frac{a}{1-a};$

D.$\frac{2a}{1+a}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\log }_{2}6=\frac{{\log }_{12}6}{{\log }_{12}2}=\frac{{\log }_{12}6}{{\log }_{12}\left(\frac{12}{6}\right)}=\frac{{\log }_{12}6}{{\log }_{12}12-{\log }_{12}6}=\frac{a}{1-a}.$

Bài 79 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^x;$

B. $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$

C. y = log_0,3x;

D. y = –log₂x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

− Hàm số mũ $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ đồng biến trên ℝ vì $\sqrt{3}>1.$

− Ba hàm số còn lại nghịch biến trên tập xác định của chúng.

⦁ Hàm số mũ $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ vì $0<\frac{e}{\pi }<1.$

⦁ Hàm số lôgarit y = log_0,3x nghịch biến trên (0; +∞) vì 0 < 0,3 < 1.

⦁ Hàm số lôgarit $y=-{\log }_{2}x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên (0; +∞) vì $0<\frac{1}{2}<1.$

Bài 80 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Nghiệm của phương trình 3^{x – 1} = 1 là:

A. x = 1;

B. x = 0;

C. x = 2;

D. x = – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3^{x – 1} = 1 ⇔ 3^{x – 1} = 3⁰ ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Bài 81 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Nghiệm của phương trình $0,5^x={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+3}$ là:

A. x = 3;

B. x = 1;

C. x = – 3;

D. x = – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $0,5^x={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+3}\iff {\left(2^{-1}\right)}^x={\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{x+3}$

$\iff 2^{-x}=2^{\frac{x+3}{2}}\iff -x=\frac{x+3}{2}$

⇔ −2x = x + 3 ⇔ 3x + 3 = 0

⇔ x = –1.

Vậy phương trình có nghiệm x = – 1.

Bài 82 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}x=-2$ là:

A. $x=-\frac{1}{9};$

B. $x=\frac{1}{9}.$

C. x = 9;

D. x = – 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{3}}x=-2\iff x={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9.$

Vậy phương trình có nghiệm x = 9.

Bài 83 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Nghiệm của phương trình ${\log }_5\left(2x-3\right)-{\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-3\right)=0$ là

A. $x=\frac{3}{2};$

B. x = 8;

C. x = 2;

D. x = 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\log }_5\left(2x-3\right)-{\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-3\right)=0$

$\iff {\log }_5\left(2x-3\right)-{\log }_{5^{-1}}\left(2x-3\right)=0$

⇔ log₅ (2x – 3) + log₅ (2x – 3) = 0

⇔ 2log₅ (2x – 3) = 0

⇔ log₅ (2x – 3) = 0

⇔ 2x – 3 = 5⁰

⇔ 2x – 3 = 1 ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 84 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình $2^{\sqrt{x}}>1$ là:

A. (0; +∞);

B. [0; +∞);

C. ℝ;

D. ℝ \ {0}.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $2^{\sqrt{x}}>1\iff 2^{\sqrt{x}}>2^0\iff \sqrt{x}>0\iff x>0.$

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0 suy ra: x > 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; +∞).

Bài 85 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình log₂(3x – 1) < 3 là:

A. (– ∞; 3);

B. $\left(\frac{1}{3};3\right);$

C. $\left(-\infty ;\frac{10}{3}\right);$

D. $\left(\frac{1}{3};\frac{10}{3}\right).$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: log₂(3x – 1) < 3 ⇔ 0 < 3x – 1 < 2³ ⇔ 0 < 3x – 1 < 8

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x-1>0\\ 3x-1<8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x<3\end{array}\right.\iff \frac{1}{3}<x<3.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $\left(\frac{1}{3};3\right).$

Bài 86 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị của ba hàm số mũ y = a^x, y = b^x, y = c^x được cho bởi Hình 5. Kết luận nào sau đây là đúng đối với ba số a, b, c?

A. c < a < b;

B. c < b < a;

C. a < b < c;

D. b < a < c.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta có:

Hàm số mũ y = c^x đồng biến trên ℝ. Suy ra c > 1.

Hàm số mũ y = a^x và y = b^x nghịch biến trên ℝ. Suy ra 0 < a < 1 và 0 < b < 1.

Thay x = 100 vào hàm số y = a^x và y = b^x ta thấy: a¹⁰⁰ > b¹⁰⁰ > 0. Suy ra 0 < b < a.

Vậy b < a < c.

Bài 87 trang 53 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a là số thực dương. Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a:

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

Bài 88 trang 54 SBT Toán 11 Tập 2: Cho x, y là các số thực dương khác 1. Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

Với x > 0, y > 0, x, y ≠ 1 ta có:

Bài 89 trang 54 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Lời giải:

a) Điều kiện: 2^x + 3 ≠ 0 (luôn đúng)

Suy ra: Hàm số $y=\frac{2^x-3}{2^x+3}$ có tập xác định là ℝ.

b) Điều kiện: 3^x – 1 ≥ 0 ⇔ 3^x ≥ 1 ⇔ 3^x ≥ 3⁰ ⇔ x ≥ 0 (vì 3 > 1)

Suy ra: Hàm số $y=\sqrt{3^x-1}$ có tập xác định là [0; + ∞).

c) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3-{\log }_{2}x\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{2}x\ne 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 2^3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 8\end{array}\right..$

Suy ra: Hàm số $y=\frac{{\log }_{2}x}{3-{\log }_{2}x}$ có tập xác định là (0; + ∞) \ {8}.

d) Điều kiện:$\left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{0,2}x+2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{0,2}x>-2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<0,2^{-2}\end{array}\right.$(vì 0 < 0,2 < 1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<25\end{array}\right.\iff 0<x<25.$

Suy ra: Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{0,2}x+2}}$ có tập xác định là (0; 25).

Bài 90 trang 54 SBT Toán 11 Tập 2: Cho b > 0 và $b^{\frac{2}{3}}=a.$ Viết b²; $\sqrt{a}\cdot b;$$\frac{a^6}{b^3}$ theo luỹ thừa cơ số a

Lời giải:

Bài 91 trang 54 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, a ≠ 1, $a^{\frac{1}{2}}=b.$ Tính:

Lời giải:

Bài 92 trang 54 SBT Toán 11 Tập 2: Giải mỗi phương trình sau:

Lời giải:

a) $0,5^{2x^2+x-1}=\frac{1}{4}\iff 0,5^{2x^2+x-1}=0,5^2$

⇔ 2x² + x – 1 = 2

$\iff 2x^2+x-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ x=1\end{array}\right..$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \left\{-\frac{3}{2};1\right\}.$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {–1; 7}.

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {2; 10}.

⇔ –2(x – 3) = x ⇔ –3x = –6 ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

e) log₃ 3(x – 2) = –1 ⇔ 3(x – 2) = 3^–1

$\iff 3\left(x-2\right)=\frac{1}{3}\iff x-2=\frac{1}{9}\iff x=\frac{19}{9}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{19}{9}.$

g) Ta có: log₅ (x² + 1) + log_0,2 (4 – 5x – x²) = 0

$\iff {\log }_5\left(x^2+1\right)+{\log }_{5^{-1}}\left(4-5x-x^2\right)=0$

⇔ log₅ (x² + 1) – log₅ (4 – 5x – x²) = 0

⇔ log₅ (x² + 1) = log₅ (4 – 5x – x²)

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+1=4–5x–x^2\\ x^2+1>0\end{array}\right.$

$\iff x^2+1=4–5x–x^2$ (do x² + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ)

$\iff 2x^2+5x–3=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right..$

Vậy phương trình có nghiệm $x\in \left\{-3;\frac{1}{2}\right\}.$

Bài 93 trang 54 SBT Toán 11 Tập 2: Giải mỗi bất phương trình sau:

Lời giải:

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (3; 4].

Bài 94 trang 54 SBT Toán 11 Tập 2: Số lượng của một loài vi khuẩn sau x giờ được tính bởi công thức f(x) = Ae^rx, trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0). Biết số vi khuẩn ban đầu là 1 000 con và sau 10 giờ tăng trưởng thành 5 000 con.

a) Tính tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn.

b) Hỏi sau khoảng bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Do số vi khuẩn ban đầu là 1 000 con nên ta có: A = 1 000.

a) Biết sau 10 giờ tăng trưởng thành 5 000 con nên f(x) = f(10) = 5 000.

Ta có: f(x) = Ae^rx suy ra: $rx=\ln \left(\frac{f\left(x\right)}{A}\right)$

$\Rightarrow r=\frac{1}{x}.\ln \left(\frac{f\left(x\right)}{A}\right)=\frac{1}{10}\ln \left(\frac{5000}{1000}\right)=\frac{\ln 5}{10}.$

b) Khi số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu tức là f(x) = 10A nên ta có: $x=\frac{1}{r}.\ln \left(\frac{f\left(x\right)}{A}\right)=\frac{1}{r}\ln \left(\frac{10A}{A}\right)=\frac{\ln 10}{r}.$

Thay $r=\frac{\ln 5}{10}$ ta có $x=\frac{\ln 10}{\frac{\ln 5}{10}}\approx 14.$

Vậy sau khoảng 14 giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu.

Bài 95 trang 55 SBT Toán 11 Tập 2: Với nước biển có nồng độ muối 30%, nhiệt độ T (^oC) của nước biển được tính bởi công thức T = 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84, ở đó d (g/cm³) là khối lượng riêng của nước biển.

(Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage)

Biết vùng biển khơi mặt ở một khu vực có nồng độ muối 30% và nhiệt độ là 8 °C. Tính khối lượng riêng của nước biển ở vùng biển đó (làm tròn kết quả đến hàng phần chục nghìn).

Lời giải:

Do vùng biển khơi mặt ở một khu vực có nồng độ muối 30% và nhiệt độ là 8 ^oC nên ta có T = 8. Suy ra: 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84 = 8

Vậy khối lượng riêng của nước biển ở vùng biển đó là d ≈ 1,0234 (g/cm³).

Bài 96 trang 55 SBT Toán 11 Tập 2: Cường độ của một trận động đất, kí hiệu là M (độ Richter), được cho bởi công thức M = logA – logA₀, ở đó A là biên độ rung chấn tối đa đo được bằng địa chấn kế và A₀ là biên độ chuẩn (hằng số phụ thuộc vào từng khu vực)

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/Độ_Richter)

Vào hồi 12 giờ 14 phút trưa ngày 27/07/2020, tại khu vực huyện Mộc Châu, Sơn La xảy ra trận động đất thứ nhất với cường độ 5,3 độ Richter. Trong vòng 20 tiếng đồng hồ, Sơn La đã xảy ra liên tiếp 7 trận động đất. Đến 8 giờ 26 phút sáng 28/07/2020, trận động đất thứ bảy xảy ra với cường độ 4 độ Richter.

(Nguồn: https://plo.vn/7–tran–dong–dat–lien–tiep–o–son–la–trong–vong–20–tieng–dong–ho–post585443.html)

Biết rằng biên độ chuẩn được dùng cho cả tỉnh Sơn La. Hỏi biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ nhất gấp khoảng mấy lần biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ bảy (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Gọi A₁, M₁, A₇, M₇ lần lượt là biên độ rung chấn tối đa và độ Richter của trận động đất thứ nhất và trận động đất thứ bảy.

Ta có: M₁ = logA₁ – logA₀ = 5,3 và M₇ = logA₇ – logA₀ = 4.

Do đó, ta có: M₁ – M₇ = logA₁ – logA₀ – logA₇ + logA₀

⇒ 5,3 – 4 = logA₁ – logA₇

_{$\Rightarrow \log \frac{A_1}{A_7}=1,3\Rightarrow \frac{A_1}{A_7}={10}^{1,3}\approx 20.$}

Vậy biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ nhất gấp khoảng 20 biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ bảy.

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc