Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các quy tắc tính đạo hàm

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 10 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f = f(x), g = g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (fg)’ = fg’.

B. (fg)’ = f’g’.

C. (fg)’ = f’g – fg’.

D. (fg)’ = f’g + fg’.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo công thức tính đạo hàm của một tích ta có: (fg)’ = f’g + fg’.

Bài 11 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f = f(x), g = g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định và g = g(x) ≠ 0, g’ = g’(x) ≠ 0. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Theo công thức tính đạo hàm của một thương ta có: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f^{\text{'}}g-f{g}^{\text{'}}}{g^2}.$

Bài 12 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = cos3x. Khi đó f’(x) bằng:

A. sin3x.

B. –sin3x.

C. –3sin3x.

D. 3sin3x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: f’(x) = (cos3x)’ = (–3x)’.sin3x = –3.sin3x.

Bài 13 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = sin(x²). Khi đó f’(x) bằng:

A. 2xcos(x²).

B. cos(x²).

C. x²cos(x²).

D. 2xcos(2x).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: f’(x) = [sin(x²)]’ = (x²)’.cos(x²) = 2xcos(x²).

Bài 14 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x+3}.$ Khi đó f’(x) bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{1}{2x+3}\right)}^{\text{'}}=-\frac{{\left(2x+3\right)}^{\text{'}}}{{\left(2x+3\right)}^2}=-\frac{2}{{\left(2x+3\right)}^2}=\frac{-2}{{\left(2x+3\right)}^2}.$

Bài 15 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = e^2x. Khi đó f’(x) bằng:

A. e^2x.

B. 2e^x.

C. 2xe^2x.

D. 2e^2x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có f’(x) = (e^2x)’ = (2x)’.e^2x = 2e^2x.

Bài 16 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = ln(3x). Khi đó f’(x) bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\ln \left(3x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(3x\right)}^{\text{'}}}{3x}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.$

Bài 17 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ = 2:

a) $f\left(x\right)=e^{x^2+2x}$; b) $g\left(x\right)=\frac{3^x}{2^x}$;

c) h(x) = 2^x . 3^{x + 2}; d) k(x) = log­₃(x² – x).

Lời giải:

a) Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(e^{x^2+2x}\right)}^{\text{'}}={\left(x^2+2x\right)}^{\text{'}}\cdot e^{x^2+2x}=\left(2x+2\right)e^{x^2+2x}.$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là: $f^{\text{'}}\left(2\right)=\left(2\cdot 2+2\right)e^{2^2+2\cdot 2}=6e^8.$

b) Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{3^x}{2^x}\right)}^{\text{'}}={\left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^x\right]}^{\text{'}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^x\text{ln}\frac{3}{2}.$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là: $g^{\text{'}}\left(2\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^2\text{ln}\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\text{ln}\frac{3}{2}.$

c) Ta có: h(x) = 2^x . 3^{x + 2} = 2^x.3^x.9 = 9.6^x.

Suy ra h’(x) = 9ln6.6^x.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là: h’(2) = 9ln6.6² = 324ln6.

d) Ta có: $k^{\text{'}}\left(x\right)={\left[lo{g}_3\left(x^2–x\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2-x\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2-x\right)\text{ln}3}=\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)\text{ln}3}.$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là: $k^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{2\cdot 2-1}{2\left(2-1\right)\text{ln}3}=\frac{3}{2\text{ln}3}.$

Bài 18 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=2\cos \left(\sqrt{x}\right);$ b) g(x) = tan(x²);

c) h(x) = cos²(3x) – sin²(3x); d) $k\left(x\right)={\sin }^{2}x+e^x\cdot \sqrt{x}.$

Lời giải:

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=2{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}\cdot \left[-\sin \left(\sqrt{x}\right)\right]=-\frac{2}{2\sqrt{x}}\cdot \sin \left(\sqrt{x}\right)=\frac{-\sin \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}.$

b) $g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(x^2\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^2\left(x^2\right)}=\frac{2x}{{\cos }^2\left(x^2\right)}.$

c) h(x) = cos²(3x) – sin²(3x) = cos(6x).

Ta có: h’(x) = (6x)’.[–sin(6x)] –6sin6x.

d) $k^{\text{'}}\left(x\right)={\left[{\sin }^2\left(x\right)\right]}^{\text{'}}+{\left(e^x\cdot \sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$

$=2\sin x{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}+{\left(e^x\right)}^{\text{'}}\cdot \sqrt{x}+e^x\cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$

$=2\sin x\cos x+e^x\sqrt{x}+\frac{e^x}{2\sqrt{x}}.$

Bài 19 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2^{3x – 6}. Giải phương trình f’(x) = 3ln2.

Lời giải:

f’(x) = (2^{3x – 6})’ = (3x – 6)’. 2^{3x – 6}ln2 = 3ln2. 2^{3x – 6}. Khi đó:

f’(x) = 3ln2

⇔ 3ln2. 2^{3x – 6} = 3ln2

⇔ 2^{3x – 6} = 1

⇔ 3x – 6 = 0

⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 20 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Giải bất phương trình f’(x) < 0, biết:

a) f(x) = x³ – 9x² + 24x; b) f(x) = –log₅(x + 1).

Lời giải:

a) Ta có: f’(x) = 3x² – 18x + 24.

Khi đó, f’(x) < 0 ⇔ 3x² – 18x + 24 < 0

⇔ x² – 6x + 8 < 0

⇔ (x – 2)(x – 4) < 0

⇔ 2 < x < 4.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (2; 4).

b) Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x+1\right)\text{ln}5}=\frac{-1}{\left(x+1\right)\text{ln}5}.$

Khi đó, f’(x) < 0 $\iff \frac{-1}{\left(x+1\right)\text{ln}5}<0$

⇔ x + 1 > 0

⇔ x > –1.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (–1; +∞).

Bài 21 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định, hàm số g(x) được xác định bởi g(x) = [f(x)]² + 2xf(x). Biết f’(0) = f(0) = 1. Tính g’(0)

Lời giải:

Ta có: g’(x) = 2f(x)f’(x) + (2x)’f(x) + 2xf’(x).

= 2f(x)f’(x) + 2f(x) + 2xf’(x).

Vậy g’(0) = 2f(0).f’(0) + 2.f(0) + 2.0.f’(0)

= 2.1.1 + 2.1 + 0 = 4.

Bài 22 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x² + 3x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có:

a) Hoành độ bằng –1; b) Tung độ bằng 4.

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = x² + 3x.

f’(x) = (x² + 3x)’ = 2x + 3.

a) Ta có f’(–1) = 2.(–1) + 3 = –2 + 3 = 1 và f(–1) = (–1)² + 3.(–1) = 1 – 3 = –2.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng –1 là:

y = f’(–1)[x – (–1)] + f(–1)

Hay y = 1.(x + 1) – 2, tức là y = x – 1.

b) Gọi điểm có tọa độ (a; 4) là tiếp điểm của đồ thị (C) có tung độ bằng 4.

Khi đó ta có f(a) = 4

Suy ra a² + 3a = 4

Hay a² + 3a – 4 = 0

Do đó a = 1 hoặc a = –4.

Suy ra hai điểm M­₁(1; 4) và M₂(–4; 4).

Ta có f’(1) = 2.1 + 3 = 5 và f’(–4) = 2.(–4) + 3 = –8 + 3 = –5.

Trường hợp 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M­₁(1; 4) là:

y = f’(1)(x – 1) + 4

Hay y = 5(x – 1) + 4, tức là y = 5x – 1.

Trường hợp 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M₂(–4; 4) là:

y = f’(–4)(x + 4) + 4

Hay y = –5(x + 4) + 4, tức là y = –5x – 16.

Bài 23 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+2}$có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( C) trong mỗi trường hợp sau:

a) d song song với đường thẳng y = 5x – 2;

b) d vuông góc với đường thẳng y = –20x + 1.

Lời giải:

Ta có: $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}.$

a) Vì d song song với đường thẳng y = 5x – 2 nên đường thẳng d có hệ số bằng 5.

Do đó $\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}=5\iff {\left(x+2\right)}^2=1\iff \left[\begin{array}{l}x+2=1\\ x+2=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-3\end{array}\right..$

⦁ Với x = –1 thì $y\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)-3}{\left(-1\right)+2}=\frac{-4}{1}=-4.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M­₁(–1; –4) là:

y = 5(x + 1) + (–4), hay y = 5x + 1.

⦁ Với x = –3 thì $y\left(-3\right)=\frac{\left(-3\right)-3}{\left(-3\right)+2}=\frac{-6}{-1}=6.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M₂(–3; 6) là:

y = 5(x + 3) + 6, hay y = 5x + 21.

b) Vì d vuông góc với đường thẳng y = –20x + 1 nên đường thẳng d có hệ số bằng $\frac{-1}{-20}=\frac{1}{20}.$

Do đó $\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{1}{20}\iff {\left(x+2\right)}^2=100\iff \left[\begin{array}{l}x+2=10\\ x+2=-10\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=8\\ x=-12\end{array}\right.$

⦁ Với x = 8 thì $y\left(8\right)=\frac{8-3}{8+2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm $M_3\left(8;\frac{1}{2}\right)$ là:

$y=\frac{1}{20}\left(x-8\right)+\frac{1}{2},$ hay $y=\frac{1}{20}x+\frac{1}{10}.$

⦁ Với x = –12 thì $y\left(-12\right)=\frac{\left(-12\right)-3}{\left(-12\right)+2}=\frac{-15}{-10}=\frac{3}{2}.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm $M_4\left(-12;\frac{3}{2}\right)$ là:

$y=\frac{1}{20}\left(x+12\right)+\frac{3}{2},$ hay $y=\frac{1}{20}x+\frac{21}{10}.$

Bài 24 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2,$ trong đó t > 0, t tính theo giây, s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s).

Lời giải:

Vận tốc tức thời của chất tại thời điểm t (s) giây là:

$v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2\right)}^{\text{'}}=t^2-6t+8$ (m/s).

Vận tốc tức thời của chất tại thời điểm t = 5 (s) là:

v(5) = 5² – 6.5 + 8 = 3 (m/s).

Bài 25 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Một mạch dao động điện từ LC có lượng điện tích dịch chuyển qua tiết diện thẳng của dây xác định bới hàm số $Q\left(t\right)={10}^{-5}\sin \left(2000t+\frac{\pi }{3}\right),$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, Q tính bằng Coulomb. Tính cường độ dòng điện tức thời I (A) trong mạch tại thời điểm $t=\frac{\pi }{1500}\left(s\right),$ biết I (t) = Q’(t).

Lời giải:

Cường độ dòng điện tức thời trong mạch tại thời điểm t (s) là:

$I\left(t\right)=Q^{\text{'}}\left(t\right)={10}^{-5}\cdot 2000\cdot \text{cos}\left(2000t+\frac{\pi }{3}\right)=0,02\text{cos}\left(2000t+\frac{\pi }{3}\right)$(A).

Cường độ dòng điện tức thời trong mạch tại thời điểm $t=\frac{\pi }{1500}$ (s) là:

$I\left(\frac{\pi }{1500}\right)=0,02\text{cos}\left(2000\cdot \frac{\pi }{1500}+\frac{\pi }{3}\right)=0,01$ (A).

Bài 26 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Năm 2010, dân số ở một tỉnh D là 1 038 229 người. Tính đến năm 2015, dân số của tỉnh đó là 1 153 600 người. Cho biết dân số của tỉnh D được ước tính theo công thức S(N) = Ae^Nr (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm được làm tròn đến hàng phần nghìn). Tốc độ gia tăng dân số (người/năm) vào thời điểm sau N năm kể từ năm 2010 được xác định bởi hàm số S’(N). Tính tốc độ gia tăng dân số của tỉnh D vào năm 2023 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị người/năm), biết tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi.

Lời giải:

Tính từ năm 2010 đến năm 2015 (khoảng thời gian là 5 năm), chọn năm 2010 làm mốc, ta có:

1 153 600 = 1 038 229.e^5r

Suy ra $r=\frac{\ln \left(\frac{1153600}{1038229}\right)}{5}\approx 0,021.$

Khi đó, ta có: S(N) ≈ 1 038 229.e^0,021N.

Suy ra tốc độ gia tăng dân số vào thời điểm sau N năm kể từ năm 2010 là:

S’(N) ≈ 0,021 . 1 038 229 . e^0,021N = 21 802,809 . e^0,021N (người/năm)

Tốc độ gia tăng dân số tỉnh D vào năm 2023 (sau 13 năm từ năm 2010) là:

S’(13) ≈ 21 802,809 . e^{0,021 . 13} ≈ 28 647 (người/năm).

Bài 27 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Một tài xế đang lái xe ô tô, ngay khi phát hiện có vật cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc ô tô để lại vết trượt dài 20,4 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=20t-\frac{5}{2}{t}^2,$trong đó s (m) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh, t(s) thời gian tính từ lúc bắt đầu phanh (0 ≤ t ≤ 4).

a) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh. Hãy cho biết xe ô tô trên có chạy quá tốc độ hay không, biết tốc độ giới hạn cho phép là 70 km/h.

b) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm?

Lời giải:

a) Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm t (s) là: v(t) = s’(t) = 20 – 5t (m/s).

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh (t = 0 s) là:

v(0) = 20 – 5.0 = 20 (m/s).

Đổi 20 m/s = 72 km/h > 70 km/h.

Suy ra ô tô trên đã chạy quá tốc độ giới hạn cho phép.

b) Khi xảy ra va chạm, ô tô đã đi được 20,4 m kể từ khi đạp phanh, nên ta có:

$20,4=20t-\frac{5}{2}{t}^2\iff 5t^2-40t+40,8=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1,2\\ t=6,8\end{array}\right.$

Vì 0 ≤ t ≤ 4 nên t = 1,2 (s).

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm (t = 1,2 s) là:

v(1,2) = 20 – 5.1,2 = 14 (m/s).

Bài 28 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Trong kinh tế học, xét mô hình doanh thu y (đồng) được tính theo số sản phẩm sản xuất ra x (chiếc) theo công thức y = f(x).

Xét giá trị ban đầu x = x₀. Đặt Mf(x₀) = f(x₀ + 1) – f(x₀) và gọi giá trị đó là giá trị y–cận biên của x tại x = x₀. Giá trị Mf(x₀) phản ánh lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x₀.

Xem hàm doanh thu y = f(x) như là hàm biến số thực x.

Khi đó Mf(x₀) = f(x₀ + 1) – f(x₀) ≈ f’(x₀). Như vậy, đạo hàm f’(x₀) cho chúng ta biết (xấp xỉ) lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x₀.

Tính doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm nếu hàm doanh thu là $y=10x-\frac{x^2}{100}$ tại mốc sản phẩm x₀ = 10 000.

Lời giải:

Ta có $y^{\text{'}}\left(x\right)={\left(10x-\frac{x^2}{100}\right)}^{\text{'}}=10-\frac{x}{50}.$

Doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x₀ = 10 000 là:

$f\text{'}\left(10000\right)=10-\frac{10000}{50}=-190$ (đồng).

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(f+g\right)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime };\\ {\left(f-g\right)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime };\\ {\left(fg\right)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime };\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}\left(g=g\left(x\right)\ne 0\right).\end{array}$

2. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là $u{}_x^{\prime }$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là $y{}_u^{\prime }$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là $y{}_x^{\prime }=y{}_u^{\prime }.u{}_x^{\prime }$.

3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

Sơ đồ tư duy Các quy tắc tính đạo hàm

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện