Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 2

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11.

1 790 16/08/2023

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Bài 47 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = 5ⁿ – n. Số hạng u_{n + 1} là:

A. 5^{n + 1} – n – 1.

B. 5^{n + 1}– n + 1.

C. 5ⁿ – n + 1.

D. 5ⁿ – n – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_{n + 1} = 5^{n + 1} – (n + 1) = 5^{n + 1} – n – 1.

Bài 48 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2, $u_{n} = \frac{1}{3} (u_{n - 1} + 1)$ với n ≥ 2. Số hạng u₄ bằng:

A. u₄ = 1.

B. $u_{4} = \frac{2}{3}$ .

C. $u_{4} = \frac{14}{27}$ .

D. $u_{4} = \frac{5}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $u_{2} = \frac{1}{3} (u_{2 - 1} + 1) = \frac{1}{3} (u_{1} + 1) = \frac{1}{3} (2 + 1) = 1$ ;

$u_{3} = \frac{1}{3} (u_{3 - 1} + 1) = \frac{1}{3} (u_{3} + 1) = \frac{1}{3} (1 + 1) = \frac{2}{3}$ ;

$u_{4} = \frac{1}{3} (u_{4 - 1} + 1) = \frac{1}{3} (u_{3} + 1) = \frac{1}{3} (\frac{2}{3} + 1) = \frac{5}{9}$ .

Bài 49 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:

A. $u_{n} = \frac{2}{3^{n}}$ .

B. $u_{n} = \frac{3}{n}$ .

C. u_n = 2ⁿ.

D. u_n = (– 2)ⁿ.

Lời giải:

Trong các dãy số đã cho, ta thấy dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là dãy số tăng.

Thật vậy, ta có u_{n + 1} = 2^{n + 1} = 2 . 2ⁿ.

Khi đó, u_{n + 1} – u_n = 2 . 2ⁿ – 2ⁿ = 2ⁿ > 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là dãy số tăng.

Bài 50 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 3 và công sai d = 3.

Khi đó, tổng của 20 số này là: Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là

Bài 51 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. $u_{n} = \frac{1}{5^{n}}$ .

B. $u_{n} = 1 + \frac{1}{5 n}$ .

C. $u_{n} = \frac{1}{5^{n}} + 1$ .

D. $u_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{5^{n}}$ .

Ta có: $u_{1} = \frac{1}{5^{1}} = \frac{1}{5}$

$u_{n + 1} = \frac{1}{5^{n + 1}} = \frac{1}{5^{n} .5} = \frac{1}{5} . \frac{1}{5^{n}} = \frac{1}{5} u_{n}$ không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{5^{n}}$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = \frac{1}{5}$ và công bội $q = \frac{1}{5}$ .

Bài 52 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm và u₂ = 6, u₄ = 24. Tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử q là công bội của cấp số nhân (u_n) (điều kiện q ≠ 0).

Ta có: u₂ = u₁q = 6; u₄ = u₁q³ = 24, suy ra $\frac{u_{4}}{u_{2}} = \frac{u_{1} q^{3}}{u_{1} q} = q^{2} = \frac{24}{6} = 4$ .

Do đó, q = ± 2.

Mà cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm nên q = 2.

Từ u₂ = u₁q = 6, suy ra u₁ = $\frac{6}{q}$ = 3.

Vậy tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là Cho cấp số nhân (un) có tất cả các số hạng đều không âm và u2 = 6, u4 = 24. Tổng 10 số hạng đầu của (un) là

Bài 53 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01 (12 số hạng) bằng:

A. $\frac{10^{11} + 107}{9}$ .

B. $\frac{10^{12} + 98}{9}$ .

C. $\frac{10^{12} + 107}{9}$ .

D. $\frac{10^{11} + 98}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01

= 1 + (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + ... + (100...0 + 1)

= 12 + (10 + 100 + 1000 + ... + 100...0)

= 12 + (10 + 10² + 10³ + ... + 10¹¹)

$= 12 + \frac{10 (1 - 10^{11})}{1 - 10}$

$= \frac{108}{9} + \frac{10^{12} - 10}{9}$

$= \frac{10^{12} + 98}{9}$ .

Bài 54 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết

a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng u_{n + 6} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải:

a) Ta có Cho dãy số (un) biết un = cos [(2n + 1) π/6] ;

Cho dãy số (un) biết un = cos [(2n + 1) π/6]

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0; $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; 0; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

b) Ta có

Cho dãy số (un) biết un = cos [(2n + 1) π/6]

Cho dãy số (un) biết un = cos [(2n + 1) π/6] với mọi n ≥ 1.

c) Vì u_{n + 6} = u_n với mọi n ≥ 1 nên

u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₂₇ = 4 . (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆) + u₁ + u₂ + u₃

Cho dãy số (un) biết un = cos [(2n + 1) π/6]

= $- \sqrt{3}$ .

Bài 55 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) có tổng n số hạng đầu là $S_{n} = \frac{n (- 1 - 5 n)}{2}$ với n ∈ ℕ^*.

a) Tính u₁, u₂ và u₃.

b) Tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

c) Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng.

Lời giải:

a) Ta có: $u_{1} = S_{1} = \frac{1. (- 1 - 5.1)}{2} = - 3$ .

Vì $u_{1} + u_{2} = S_{2} = \frac{2. (- 1 - 5.2)}{2} = - 11$ nên u₂ = S₂ – u₁ = – 11 – (– 3) = – 8.

Vì $S_{2} + u_{3} = S_{3} = \frac{3 (- 1 - 5.3)}{2} = - 24$ nên u₃ = S₃ – S₂ = – 24 – (– 11) = – 13.

b) Ta có: u_n = S_n – S_{n – 1} = Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là Sn= n(-1 -5n)/2 với n ∈ ℕ*

$= \frac{- n - 5 n^{2} - (n - 1) (- 1 - 5 n + 5)}{2}$ $= \frac{- n - 5 n^{2} - (- n - 5 n^{2} + 5 n + 1 + 5 n - 5)}{2}$

$= \frac{- 10 n + 4}{2} = 2 - 5 n$ .

Vậy u_n = 2 – 5n.

c) Ta có: Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu là Sn= n(-1 -5n)/2 với n ∈ ℕ* , với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là một cấp số cộng.

Bài 56 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 1, u₂ = 2, u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1}+ 2 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n với n ∈ ℕ^*. Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số cộng.

c) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có u₁ = 1, u₂ = 2, u₃ = u_{2 + 1} = 2u₂ – u_{2 – 1}+ 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,

u₄ = u_{3 + 1} = 2u₃ – u_{3 – 1} + 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,

u₅ = u_{4 + 1} = 2u₄ – u_{4 – 1} + 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.

b) Từ công thức u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1}+ 2 suy ra u_{n + 1}– u_n = u_n – u_{n – 1} + 2.

Mà v_n = u_{n + 1} – u_n và v_{n – 1} = u_{n – 1 + 1}– u_{n – 1}= u_n – u_{n – 1}.

Do đó, v_n = v_{n – 1} + 2 với n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu v₁ = u₂ – u₁ = 1 và công sai d = 2.

c) Từ kết quả câu b, ta có: v_n = v₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v₁ = u₂– u₁

v₂ = u₃ – u₂

...

v_{n – 2}= u_{n – 1} – u_{n – 2}

v_{n – 1} = u_n– u_{n – 1}

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v₁ + v₂ + ... + v_{n – 2} + v_{n – 1} = – u₁ + u_n

$\Leftrightarrow \frac{(v_{1} + v_{n - 1}) (n - 1)}{2} = - 1 + u_{n}$

Cho dãy số (un) biết u1 = 1, u2 = 2 trang 57 SBT Toán 11

⇔ (n – 1)² = u_n– 1

⇔ u_n= 1 + (n – 1)².

Vậy u_n= 1 + (n – 1)² và v_n = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ^*.

Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết u₁ = – 2, $u_{n + 1} = \frac{n + 1}{2 n} u_{n}$ với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_{n} = \frac{u_{n}}{n}$ với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có $v_{1} = \frac{u_{1}}{1} = \frac{- 2}{1} = - 2$ ;

$v_{n + 1} = \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = (\frac{n + 1}{2 n} u_{n}) : (n + 1) = \frac{1}{2} . \frac{u_{n}}{n} = \frac{1}{2} v_{n}$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu v₁ = – 2 và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

b) Từ kết quả của câu a) suy ra $v_{n} = v_{1} . q^{n - 1} = (- 2) . {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = - {(\frac{1}{2})}^{n - 2}$ .

Từ $v_{n} = \frac{u_{n}}{n}$ , suy ra $u_{n} = n . v_{n} = - n . {(\frac{1}{2})}^{n - 2}$ với mọi n ≥ 2.

Bài 58 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy, trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25%/năm (tức là sau mỗi một năm, giá trị còn lại của chiếc máy bằng 75% giá trị của năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm, 2 năm.

b) Sau 5 năm, giá trị của chiếc máy đó còn khoảng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

a) Giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm là:

1 200 . 0,75 = 900 (triệu đồng).

Giá trị của chiếc máy đó sau 2 năm là:

1 200 . 0,75 . 0, 75 = 1 200 . 0,75² = 675 (triệu đồng).

b) Sau 5 năm, giá trị chiếc máy đó còn là:

1 200 . 0,75⁵ ≈ 285 (triệu đồng).

Bài 59 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

a) Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Lời giải:

a) Diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, hình thứ hai, hình thứ ba lần lượt là:

$1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}; 1 - {(\frac{8}{9})}^{2} = \frac{17}{81}; 1 - {(\frac{8}{9})}^{3} = \frac{217}{729}$ .

b) Gọi S_n là diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Ta có: S_n = 1 – ${(\frac{8}{9})}^{n}$ .

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số nhân

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

1 790 16/08/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3