Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Cánh diều): Phương trình lượng giác cơ bản

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 48 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin x = 1 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: sin x = 1 $\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 49 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là:

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt trên khoảng (0; 4π) nên số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là 4.

Bài 50 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$ có các nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cos x=-\frac{1}{2}$$\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$

Bài 51 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là:

A. 0 ≤ m < 1.

B. 0 ≤ m ≤ 1.

C. 0 < m ≤ 1.

D. 0 < m < 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng y = m.

Trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = cos x khi m ∈ (0; 1].

Do đó, Giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng (-π/2;π/2) là $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là 0 < m ≤ 1.

Bài 52 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình tan x = − 1 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có tan x = − 1 $\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 53 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cot x = 0 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có cot x = 0 $\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 54 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin x – cos x = 0 có các nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x (*)

Vì sin x và cos x không thể đồng thời bằng 0 do sin² x + cos² x = 1 nên (*) tương đương với tan x = 1, tức là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Bài 55 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình $\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0$ có các nghiệm là:

A. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

B. $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

C. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0$

$\iff \sqrt{3}\left(\cos x+\sqrt{3}\sin x\right)=0$

$\iff \cos x+\sqrt{3}\sin x=0$

$\iff \frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=0$

$\iff \cos \frac{\pi }{3}\cos x+\sin \frac{\pi }{3}\sin x=0$

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=0$

$\iff \frac{\pi }{3}-x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 56 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình $\cos 2x=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ có các nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos 2x=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Bài 57 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin 3x = cos x có các nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có sin 3x = cos x

$\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

Bài 58 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ ;

d) $2\cos x+\sqrt{3}=0$ ;

e) $\sqrt{3}\tan x-1=0$ ;

g) $\cot \left(x+\frac{\pi }{5}\right)=1$ .

Lời giải:

a) Do $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\iff \sin 3x=\sin \frac{\pi }{3}$

b) Do $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\iff \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

c) Do $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên $\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ $\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}$

d) $2\cos x+\sqrt{3}=0$

$\iff \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos x=\cos \frac{5\pi }{6}$ (do $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ )

$\iff x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

e) $\sqrt{3}\tan x-1=0$

$\iff \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \tan x=\tan \frac{\pi }{6}$ (do $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ )

$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

g) Do $\cot \frac{\pi }{4}=1$ nên $\cot \left(x+\frac{\pi }{5}\right)=1$ $\iff \cot \left(x+\frac{\pi }{5}\right)=\cot \frac{\pi }{4}$

$\iff x+\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{20}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 59 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm góc lượng giác x sao cho:

a) sin 2x = sin 42°;

b) sin(x – 60°) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

c) cos(x + 50°) = $\frac{1}{2}$ ;

d) cos 2x = cos (3x + 10°);

e) tan x = tan 25°;

f) cot x = cot (– 32°).

Lời giải:

a) sin 2x = sin 42°

b) Do $\sin \left(-60°\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên sin(x – 60°) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇔ sin(x – 60°) = sin(– 60°)

c) Do $\cos 60°=\frac{1}{2}$ nên cos(x + 50°) = $\frac{1}{2}$ ⇔ cos(x + 50°) = cos 60°

d) cos 2x = cos (3x + 10°)

e) tan x = tan 25°

⇔ x = 25° + k180° (k ∈ ℤ).

f) cot x = cot (– 32°)

⇔ x = – 32° + k180° (k ∈ ℤ).

Bài 60 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ ;

b) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ ;

c) ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ ;

d) ${\cos }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)={\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ ;

e) cos x + sin x = 0;

g) sin x – $\sqrt{3}$ cos x = 0.

Lời giải:

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

b) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

c) ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff \frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{1-\cos \left(4x+\pi \right)}{2}$(Sử dụng công thức hạ bậc)

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(4x+\pi \right)$.

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

d) ${\cos }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)={\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff \frac{1+\cos \left(4x+\pi \right)}{2}=\frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}$ (sử dụng công thức hạ bậc)

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=-\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}+\pi \right)$ (sử dụng quan hệ hơn kém π)

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=\cos \left(2x+\frac{4\pi }{3}\right)$

e) cos x + sin x = 0

⇔ cos x = – sin x

⇔ tan x = – 1

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

g) sin x – $\sqrt{3}$ cos x = 0

$\iff \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0$

$\iff \sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=0$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0$

$\iff x-\frac{\pi }{3}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 61 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Dùng đồ thị hàm số y = sin x, y = cos x để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π];

b) $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 trên khoảng (– 4π; 0).

Lời giải:

a) Ta có 5sin x – 3 = 0 $\iff \sin x=\frac{3}{5}$ .

Do đó, số nghiệm của phương trình 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π] bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng $\iff \sin x=\frac{3}{5}$ .

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng $y=\frac{3}{5}$ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình 5sin x – 3 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [– π; 4π].

b) Ta có $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 $\iff \cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Do đó, số nghiệm của phương trình $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 trên đoạn (– 4π; 0) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (– 4π; 0).

Bài 62 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 10 m. Đồ thị ở Hình 15 mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (h) (0 ≤ t ≤ 24) được cho bởi công thức $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ với m, a là các số thực dương cho trước.

a) Tìm m, a.

b) Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.

Lời giải:

a) Ta có $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ .

Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)\le 1$ với mọi 0 ≤ t ≤ 24 nên $m-a\le m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)\le m+a$ .

Do vậy chiều cao của mực nước cao nhất bằng m + a khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=1$ và thấp nhất bằng m – a khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1$ .

Theo giả thiết, ta có:

Vậy m = 13 và a = 3.

b) Từ câu a) ta có công thức $h=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ .

Do chiều cao của mực nước là 11,5 m nên $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\mathrm{11,5}$ $\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 8 và t = 16.

Vậy ứng với hai thời điểm trong ngày là t = 8 (h) và t = 16 (h) thì chiều cao của mực nước là 11,5 m.a

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Khái niệm phương trình tương đương

- Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x)=0\iff g(x)=0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

- Các phép biến đổi tương đương:

+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

2. Phương trình $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=m$

Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi $\left|m\right|\le 1$.

Khi $\left|m\right|\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=m\iff \sin x=\sin \alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x=\sin {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x={180}^o-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

3. Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$

Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left|m\right|\le 1$.

Khi $\left|m\right|\le 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x=\cos {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x=-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

4. Phương trình $\tan x=m$

Phương trình $\tan x=m$có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thoả mãn $\tan \alpha =m$. Khi đó:

$\tan \mathrm{x}=m\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x=\tan {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}.$

5. Phương trình $\cot x=m$

Phương trình $\cot x=m$có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(0;\pi \right)$ thoả mãn $\cot \alpha =m$. Khi đó:

$\cot \mathrm{x}=m\iff \cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x=\cot {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}.$

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$3 (CASIO FX570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$4 (CASIO FX570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $\alpha$ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 11 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân