Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình

Giải SBT Toán 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 44 trang 113 SBT Toán 11: Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.

Lời giải:

Trước hết ta chứng minh một kết quả trong hình học phẳng: Trong hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh.

Xét hình bình hành MNPQ:

Áp dụng định lí côsin trong các tam giác MPQ và QPN, ta có:

MP2 = QM2 + QP2 – 2QM . QP . cos$\widehat{MQP}$

QN2 = PQ2 + PN2 – 2PQ . PN . cos$\widehat{QPN}$

Do QM = PN và $\cos \widehat{MQP}=-\cos \widehat{QPN}$ (do hai góc bù nhau) nên ta có:

MP2 + QN2 = 2(QM2 + QP2).

Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D':

Áp dụng kết quả trên cho hai hình bình hành AA'C'C và BB'D'D ta được:

AC'2 + A'C2 = 2(AA'2 + A'C'2)

BD'2 + B'D2 = 2(BB'2 + B'D'2)

Suy ra AC'2 + A'C2 + BD'2 + B'D2 = 4AA'2 + 2(A'C'2 + B'D'2)    (do AA' = BB').

Mặt khác, trong hình bình hành A'B'C'D', ta có: A'C'2 + B'D'2 = 2(A'B'2 + A'D'2).

Vậy AC'2 + A'C2 + BD'2 + B'D2 = 4AA'2 + 4A'B'2 + 4A'D'2.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.