Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, I, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A'B'C'

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh B'C', BB'.

Do I, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác A'B'C' và A'B'B nên $\frac{A\text{'}I}{A\text{'}M}=\frac{A\text{'}K}{A\text{'}N}=\frac{2}{3}$.

Suy ra IK // MN. Mà MN ⊂ (BCC'B') nên IK // (BCC'B').

b) Gọi P là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, mặt phẳng (AGK) cũng là mặt phẳng (AB'P), mặt phẳng (A'IC) cũng là mặt phẳng (A'MC). 

Ta có B'P // MC (B'MCP là hình bình hành) nên B'P // (A'MC)

AP // A'M (APMA' là hình bình hành) nên AP // (A'MC).

Từ đó, suy ra (AB'P) // (A'MC) hay (AGK) // (A'IC).

c) Với K là trọng tâm của tam giác A'BB', ta suy ra $\frac{B\text{'}K}{B\text{'}A}=\frac{1}{3}$ nên $\frac{B\text{'}K}{KA}=\frac{1}{2}$.

Ta có đường thẳng B'A cắt ba mặt phẳng song song (A'B'C'), (α), (ABC) lần lượt tại B', K, A; đường thẳng A'C cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự tại A', L, C.

Áp dụng định lí Thalés trong không gian, ta có: $\frac{B\text{'}K}{A\text{'}L}=\frac{KA}{LC}=\frac{AB\text{'}}{CA\text{'}}$.

Suy ra $\frac{A\text{'}L}{LC}=\frac{B\text{'}K}{KA}=\frac{1}{2}$.

Vậy $\frac{LA\text{'}}{LC}=\frac{1}{2}$.