a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­n) với u1 = 5/4; q = -1/3

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­_n) với $u_1=\frac{5}{4},q=-\frac{1}{3}$ .

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.

Lời giải:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­_n) với $u_1=\frac{5}{4},q=-\frac{1}{3}$  là:

$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{5}{4}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{15}{16}$.

b) Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 0,3 và công bội $q=\frac{1}{10}$  < 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... $=\frac{\mathrm{0,3}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$ .

Vậy 2,(3) = 2 + $\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ .