Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất

Lời giải Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 1,343 16/08/2023

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h_n là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (h_n).

b) Tính giới hạn của dãy số (h_n) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (h_n).

c) Gọi S_n là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính S_n, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có, $h_{n} = \frac{1}{4} h_{n - 1}$ nên (h_n) là một cấp số nhân với h₁ = $\frac{1}{4} .100 = 25$ và công bội $q = \frac{1}{4}$ .

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (h_n): $h_{n} = u_{1} q^{n - 1} = 25. {(\frac{1}{4})}^{n - 1} = \frac{100}{4^{n}}$ .

b) Ta có: limh_n = $\lim \frac{100}{4^{n}} = \lim (100. \frac{1}{4^{n}}) = \lim 100. \lim {(\frac{1}{4})}^{n} = 100.0 = 0$ .

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

c) Ta có: $S_{n} = 100 + 2 (\frac{100}{4} + \frac{100}{4^{2}} + \frac{100}{4^{3}} + ... + \frac{100}{4^{n}})$ .

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: $\lim S_{n} = 100 + 2 (\frac{100}{4} + \frac{100}{4^{2}} + \frac{100}{4^{3}} + ... + \frac{100}{4^{n}} + ...)$ .

Vì $\frac{100}{4}; \frac{100}{4^{2}}; \frac{100}{4^{3}}; ...; \frac{100}{4^{n}}; ...$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = \frac{100}{4}$ và công bội $q = \frac{1}{4} < 1$ nên ta có $\lim S_{n} = 100 + 2. \frac{\frac{100}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{500}{3}$ .