Cho sin α + cos α = 1/3 với -pi/2 < a < 0. Tính: a) A = sinα . cos α

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin α + cos α = $\frac{1}{3}$  với $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ . Tính:

a) A = sinα . cos α;

b) B = sin α – cos α;

c) C = sin³ α + cos³ α;

d) D = sin⁴ α + cos⁴ α.

Lời giải:

a) Do sin α + cos α = $\frac{1}{3}$  nên (sin α + cos α)² = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$ .

Mà (sin α + cos α)² = sin² α + 2 sin α cos α + cos² α = 1 + 2 sin α cos α.

Do đó, 1 + 2 sin α cos α = $\frac{1}{9}$ , suy ra A = sinα . cos α = $\frac{\frac{1}{9}-1}{2}=-\frac{4}{9}$ .

b) Ta có: B² = (sin α – cos α)² = 1 – 2 sin α cos α = $1-2.\left(-\frac{4}{9}\right)=1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$ .

Do $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$  nên sin α < 0 và cos α > 0. Do đó sin α – cos α < 0.

Vậy B = $-\frac{\sqrt{17}}{3}$ .

c) Ta có:

C = sin³ α + cos³ α = (sin α + cos α)³ – 3 sin α cos α(sin α + cos α)

$={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-3.\left(-\frac{4}{9}\right).\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{13}{27}$.

d) Ta có:

D = sin⁴ α + cos⁴ α = 1 – 2sin² α cos² α (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin α cos α)² = $1-2.{\left(-\frac{4}{9}\right)}^2=\frac{49}{81}$ .